Reihe mit Binomialkoeffizient

13.07.2013, 22:20

Christopf12

Reihe mit Binomialkoeffizient

Sei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k} }{\begin{pmatrix} 3k \\ k+2 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

Jemand eine Idee wie ich hier diese Reihe auf konvergenz (absolute konvergenz) untersuche ?^Mir bereitet der Binomialkoeffizient ein Problem.

Soll ich diesen lösen? Welches krit. würde den passen. mfg

13.07.2013, 22:29

HAL 9000

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Versuch's doch schlicht mal mit dem Quotientenkriterium - ist oft eine gute Idee, wenn Fakultäten im Spiel sind, was hier ja bei dem Binomialkoeffizient indirekt auch der Fall ist.

13.07.2013, 22:52

Christopf12

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Ich hab Probleme damit alles zusammenzufassen. Wann wäre es den ideal den Binomialkoeffizienten umzuwandeln ? Vor dem QK oder erst nach nutzen des QK.

15.07.2013, 09:15

klarsoweit

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Das ist im Grunde wurscht. Was sind denn deine Probleme?

21.07.2013, 22:34

Christopf

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Reihe
Es ist folgende Reihe gegeben: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k} }{\begin{pmatrix} 3k \\ k+2 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

Nun soll ich diese auf Konvergenz bzw. absolute konvergenz untersuchen. Ich weiss das man hier (Da hier mit Fakultät und k im Exponenten gearbeitet wird) das Quotientenkriterium anwenden soll (Guter Ansatz). Mein Problem:

Ich weiss nicht wie ich den Term darstellen soll. Also Bruch mit lim k-> oo / a_k+1/a_k / ist mir schon klar, aber ich weiss nicht wie ich diesen ,,verdammten" Binomiakoeffizient umschreiben kann und kürzen kann.

Kann mir jemand bitte sagen wie ich das geeignet zum kürzen aufschreiben soll, das wäre verdammt prima.

21.07.2013, 22:59

Kasen75

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Hallo,

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3k \\ k+2 \end{pmatrix} = \frac{(3k)!}{(k+2)! \cdot (2k-2)! } \end{eqnarray*}$

Vielleicht hilft das schon.

Grüße.

22.07.2013, 13:52

Christopf1

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Mithilfe des QK komme ich auf 1/26 ist das korrekt? Wenn ja, dann wäre sie Ab. Konvergent!

22.07.2013, 13:56

Christopf1

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Was ist (2k-2)!? Erwa 2k!(2k-1)(2k-2) ?

22.07.2013, 14:15

HAL 9000

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@Christopf

Warum eigentlich ein neuer Thread, statt den alten

Reihe mit Binomialkoeffzient

fortzusetzen? unglücklich

22.07.2013, 14:19

Christopf

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Tschuldigung, kommt nicht wieder vor.

Ist den 1/27 (Somit Absolut Konvergent) und (2k-2)!=2k!(2k-1)(2k-2) richtig?

22.07.2013, 14:23

Kasen75

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Ich habe etwas anderes heraus.
Es wäre günstig, wenn du ein paar Zwischenschritte posten würdest. Da kann man dann viel schneller sehen, wo du richtig gelegen bist-und wo nicht.

Zitat:

Was ist (2k-2)!? Erwa 2k!(2k-1)(2k-2) ?

Nein. Es ist $\begin{eqnarray*} (2k-2)!=\frac{(2k)!}{(2k-1)(2k)}, k \neq 0; k \neq 0,5 \end{eqnarray*}$

Edit:

Zitat:

Ist den 1/27 (Somit Absolut Konvergent)

Ich habe hier im Zähler etwas anderes stehen.

22.07.2013, 14:30

Christopf

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Kannst du mir nebenbei sagen nach welcher Formel das stattgefunden hat:

$\begin{eqnarray*} (2k-2)!=\frac{(2k)!}{(2k-1)(2k)}, k \neq 0, k \neq 0,5 \end{eqnarray*}$

Ich weiss, dass (2k+2)! z.b. 2k!(2k+1)(2k+2) ist, aber hier habe ich es gar nicht verstanden nach welcher Termumformung das stattfindet.

22.07.2013, 14:44

Kasen75

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Zitat:

Original von Christopf
Ich weiss, dass (2k+2)! z.b. 2k!(2k+1)(2k+2) ist, aber hier habe ich es gar nicht verstanden nach welcher Termumformung das stattfindet.

Deine Gleichung ist: $\begin{eqnarray*} (2k+2)! = 2k!(2k+1)(2k+2) \end{eqnarray*}$

Jetzt bei allen Fakultäten "2 abziehen":

$\begin{eqnarray*} (2k)! = (2k-2)!(2k-1)(2k) \end{eqnarray*}$

Danach nach $\begin{eqnarray*} (2k-2)! \end{eqnarray*}$ umstellen.

-------------------------------

Ansonsten ist $\begin{eqnarray*} (2k)! \end{eqnarray*}$ genau zwei Faktoren von $\begin{eqnarray*} (2k+2)! \end{eqnarray*}$ entfernt.

Diese Faktoren sind eben die letzten beiden Faktoren von $\begin{eqnarray*} (2k+2)! \end{eqnarray*}$

22.07.2013, 14:59

Christopf

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Danke!, kann ich dann das immer so machen? Freude

Also erst nur vom positiven ausgehen, ,,ausklammern"wie beim positiven und dann soviel ,,n" abziehen wie in der klammer bei der ausgangsfunktion steht (2k-n)! und am Ende noch äquivalent umformen!

22.07.2013, 15:09

Kasen75

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@Christopf
Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann hast du es verstanden.

OT: Es ist wirklich nicht sehr höflich mehrere Threads zu ein und demselben Thema aufzumachen.
Eigentlich wollte ich dich schon zum ersten Thread zurückschicken.

Zitat:

Original von HAL 9000
@Christopf

Warum eigentlich ein neuer Thread, statt den alten

Reihe mit Binomialkoeffzient

fortzusetzen? unglücklich

@HAL 9000
Ich sehe jetzt erst, dass du einen noch älteren Thread meinst. Ein anderer, der neuste, Thread wurde nämlich schon geschlossen.

22.07.2013, 15:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kasen75
@HAL 9000
Ich sehe jetzt erst, dass du einen noch älteren Thread meinst. Ein anderer, der neuste, Thread wurde nämlich schon geschlossen.

Ja, ist schon merkwürdig: Drei Threads, und noch nicht einmal ist der Quotient in Fakultätsform (ich rede noch gar nicht vom Kürzen) vom Fragesteller ordentlich hingeschrieben worden, stattdessen eine falsche Ergebnisangabe nach der anderen (1/26, 1/27, ?) ...

Aber ich will nicht weiter stören, mach du mal weiter.

Ich habe die Threads jetzt zusammengeführt. Steffen

24.07.2013, 01:04

Christopf112

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Ich habe 4/27 heraus. Ist das nun richtig?

Wieso zieh ich eigentlich 2 von den ganzen Klammern ab bei (2k-2)! ? Nur wegen (2k-2)! ?

24.07.2013, 01:54

Kasen75

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Zitat:

Original von Christopf112
Ich habe 4/27 heraus. Ist das nun richtig?

Das ist richtig. Freude

Zitat:

Original von Christopf112
Wieso zieh ich eigentlich 2 von den ganzen Klammern ab bei (2k-2)! ? Nur wegen (2k-2)! ?

Die Frage ist ein bisschen unpräzise formuliert. Vielleicht nochmal ausführlicher formulieren.

Prinzipiell ist $\begin{eqnarray*} (2k)!=(2k)\cdot (2k-1)\cdot \underbrace{(2k-2)\cdot (2k-3)\cdot \ldots \cdot 1}_{(2k-2)!} \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} (2k)!=(2k)\cdot (2k-1)\cdot (2k-2)! \end{eqnarray*}$

@HAL 9000
Ich habe jetzt mal weitergemacht.
Wenn ich nicht online bin brauche ich ja keine Sorge zu haben, dass du die nicht weitermachst-sofern du vorbeischaust. Big Laugh

24.07.2013, 02:46

Christopf122

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Vielen dank!

Bzgl. (2k-2)! hast du mir ebenfalls geholfen! Dann noch äquivalent umformen nach (2k-1)! stimmts? Ja stimm.^^

24.07.2013, 10:09

Kasen75

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Zitat:

Original von Christopf122
Vielen dank!

Bzgl. (2k-2)! hast du mir ebenfalls geholfen! Dann noch äquivalent umformen nach (2k-1)! stimmts? Ja stimm.^^

Hier weiß ich wieder nicht genau was du meinst. Stell doch mal deine Fragen präziser und vor allem ausführlicher. Wenn du dich auf einen (Teil-)Beitrag beziehst, kannst du ihn gerne zitieren.

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