Dimension der Lösungsmenge

14.07.2013, 18:50

MatheKatastrophe

Dimension der Lösungsmenge

Edit (Helferlein): Da die Frage rein gar nichts mit LaTex zu tun hat, habe ich sie in den richtigen Bereich verschoben.

Meine Frage:
Folgende Klausuraufgabe:
Es sei A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & -4 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & -3 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ vorgegeben.

a) Welche Dimension hat die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems Ax = b mit x?R^4, b?R3 und b ungleich leere Menge.

b)Welche Aussage ist über das lineare Gleichungssystem (A^T)y=a mit y?R^3 und a?R^4 und a ungleich leere Menge möglich?

Meine Ideen:
Mein Ansatz:

1. Matrix auf Unabhängigkeit prüfen. Rang = 3 und darauß folge ich Dim = 1
2. Weiß nicht mehr weiter. Ist die Dimension meiner Lsgmenge dann nicht ebenfalls 1? Ich bin irgendwie total verwirrt oO.

b) Kann ich erst beantworten, wenn ich a) verstanden haben :/

14.07.2013, 22:09

Dopap

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RE: Dimension der Lösungsmenge

Zitat:

Original von MatheKatastrophe

1. Matrix auf Unabhängigkeit prüfen. Rang = 3 und darauß folge ich Dim = 1
2. Weiß nicht mehr weiter. Ist die Dimension meiner Lsgmenge dann nicht ebenfalls 1? Ich bin irgendwie total verwirrt oO.

1. ist doch richtig. $\begin{eqnarray*} DIM(L)=n- Rang(A^T) = 1 \end{eqnarray*}$ mit n=4

2.) genauso berechnen, n=3

nur könnte $\begin{eqnarray*} Rang(A^T_e) = 4 \end{eqnarray*}$ sein ? was dann ?

14.07.2013, 23:27

MatheKatastrophe

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RE: Dimension der Lösungsmenge
Erstmal vielen Dank für die Antwort smile

Also ich glaube ich bin mir einfach nicht sicher was ich mit dem Begriff Dimension anfangen soll. Dimension heißt doch eigentlich nur in welchem Raum ich mich befinde, d.h. R^2, R^3, ... usw.
Wenn meine dim(A)=1 ist, heißt das dann, dass ich genau einen Vektor als Lösungsvektor habe?

Bei r(A) = 4 würde meine dim(A)=0 sein. Das heißt es gäbe gar keine Lösung?

15.07.2013, 03:31

Dopap

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RE: Dimension der Lösungsmenge

Zitat:

Original von MatheKatastrophe
Erstmal vielen Dank für die Antwort smile

Also ich glaube ich bin mir einfach nicht sicher was ich mit dem Begriff Dimension anfangen soll. Dimension heißt doch eigentlich nur in welchem Raum ich mich befinde, d.h. R^2, R^3, ... usw.

nein, der Raum ist mit n vorgegeben.

Zitat:

Wenn meine dim(A)=1 (*) ist, heißt das dann, dass ich genau eine[ Vektor als Lösungsvektor habe?

(*) dim (L)=1. Die Lösungsmenge ist eindimensional = Gerade $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Bei r(Ae) = 4 würde meine dim(L)=0 sein. Das heißt es gäbe gar keine Lösung?

falsch, die Formel gilt dann hier nicht, es gibt keine Lösungen.
Wenn aber rang(A)= 3 = rang(Ae)=3 gilt, dann ist dim (L)=0, es gibt eine Nulldimensionale Lösung = genau einen Punkt $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

15.07.2013, 04:15

MatheKatastrophe

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RE: Dimension der Lösungsmenge
ok, vielen Dank, ich denke jetzt ist es mir langsam klar geworden. D.h. für die Teilaufgabe b), dass hier mein Rang 3 ist und somit würde die Formel nicht gelten, sonst wäre ja die Dimension 0. Also gibt es keine Lösungen? Hammer

15.07.2013, 04:39

Dopap

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Du hast es noch nicht verstanden. bei b.) gibt es 2 Möglichkeiten:

1.) wenn der $\begin{eqnarray*} \vec a \in \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ ganz beliebig ist, dann gibt es keine Lösung.

2.) Wenn er so gebaut ist, dass sich beim Gauss-Verfahren als 4-te Koordinate Null ergibt ( es entsteht eine komplette Nullzeile in Ae ) dann gibt es genau 1 Lösung.

15.07.2013, 16:24

MatheKatastrophe

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jaaaa jetzt endlich... ich habe, warum auch immer, das Gleichungssystem immer getrennt betrachtet Forum Kloppe

im Endeffekt ist es wie jede andere Aufgabe^^

also eigentlich mache ich einfach 2 Fallunterscheidungen. Einmal Rang von A und Ae vergleichen. Einmal können die gleich sein und einmal ist der Rang von A größer als von Ae. Darauß kann ich dann die Dimension ablesen und auch Informationen über die Lösung geben (also eine Lösung, keine, oder unendlich viele^^). Viiieeelen Dank smile

15.07.2013, 18:08

Dopap

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Zitat:

Original von MatheKatastrophe
[...]
also eigentlich mache ich einfach 2 Fallunterscheidungen. Einmal Rang von A und Ae vergleichen. Einmal können die gleich sein und einmal ist der Rang von A größer als von Ae. Darauß kann ich dann die Dimension ablesen und auch Informationen über die Lösung geben (also eine Lösung, keine, oder unendlich viele [...]

leider nicht unglücklich

den Fall rang (A) > rang(Ae) gibt es nicht. Es gibt nur den Fall rang (A) = rang(Ae)
und dann ist Dim(L) = n-rang(A) = r-rang(Ae)
---------------------------------------------
Der Fall rang(A) < rang(Ae) war klar: keine Lösung.

15.07.2013, 20:12

MatheKatastrophe

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oh ja, da habe ich mich verschrieben ^^ ich meinte r(A)<r(Ae) ...

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