Taylorreihe (Ungleichung)

14.07.2013, 18:52

Martin19

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Taylorreihe (Ungleichung)

Ich soll zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} | x^{3} +\frac{1}{|x |-2 }-(2(x-1)+2\left(x-1\right)^{2} | <32\left(x-4\right)^{4} \end{eqnarray*}$ gilt. Wobei x element (1/2,3/2) gilt.

Ich weiss nicht was zu tun ist. Wie geht man bei solch einer Aufgabe ran?

14.07.2013, 18:59

Che Netzer

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RE: Taylorreihe (Ungleichung)
Ist die Aufgabe wirklich so gestellt? (abgesehen von der fehlenden Klammer)

Dann muss man die Taylor-Entwicklung nämlich gar nicht benutzen, sondern kann ganz bequem den Term auf der linken Seite nach oben durch $\begin{eqnarray*} 8+2+1+1=12 \end{eqnarray*}$ und den auf der rechten Seite nach unten durch $\begin{eqnarray*} 32\cdot16>12 \end{eqnarray*}$ abschätzen.

14.07.2013, 19:07

Martin19

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Ich muss das mithilfe der Taylorapproximation zeigen. Hatte ich vergessen zu erwähnen.

Meine Idee wäre den rechten Term der Ungleichung zu approximieren. Ich weiss aber nicht warum, weil es ehrich gesagt nur geraten ist. verwirrt

verwirrt

14.07.2013, 19:42

Martin19

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Ist es eventuell am günstigsten, den Term in ein Taylorpolynom umzuformen der ,,unschön" aussieht? In diesem Fall eventuell11/(/x/-2)

14.07.2013, 20:12

Martin19

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Ich möchte korrigieren was ich gesagt habe.

Im Linken Term der Ungleichung steht bereits die Ausgangsfunktion minus ihr Taylorpolynom 3. Ordnung, also brauch kein Taylorpolynom entwickelt werden glaube ich. Was ist aber nun zu zeigen?

14.07.2013, 20:52

Martin19

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Ich denke ich muss einfach nur das Restglied berechnen, welches ja gegeben ist durch Rn(x)=f(x)-T(x), wobei Rn(x) die Formel nach Lagrange ist. Wenn ich nun diesen Fehler berechnet
habe stell ich die Ungleichung da die gegeben war bloß mit Rn(x)<32(x-4)^4 dar.

Und nun?

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14.07.2013, 21:27

Che Netzer

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Überprüf bitte erst einmal, ob du die Aufgabenstellung auch wirklich richtig wiedergegeben hast.

Naja, wenn man eine geeignete Funktion durch ihr Taylor-Polynom dritten Grades in einem geeigneten Entwicklungspunkt approximiert, erhält man durch die Restgliedabschätzung tatsächlich eine Ungleichung, die der zu zeigenden ähnelt (aber besser ist).

14.07.2013, 21:42

Martin19

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Also sie ist eine Teilaufgabe. Davor musste ich das Taylorpolynom von f(x)=x^3 + 1/(/x/-2) mit 3. Ordnung mit Entwicklungspunkt x0=1 berechnen. Diese lautet T3(f,1,x)=2(x-1)+2(x-1)^2

Nun soll ich zeigen, dass für x element (1/2,3/2) gilt:

$\begin{eqnarray*} | x^{3} +\frac{1}{|x |-2 }-(2(x-1)+2\left(x-1\right)^{2} | <32\left(x-4\right)^{4} \end{eqnarray*}$

Und wenn man weiss, dass f(x)=T(x)+Rn(x) lautet, ist dies Äquivalent zu

Rn(x)=f(x)-T(x), wobei dies durch Lagrange gegeben ist. Das sagt doch alles definitiv aus, dass ich ers einmal den Fehler mit n=4 berechnen soll oder ?

14.07.2013, 21:44

Che Netzer

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Zitat:

Original von Martin19
$\begin{eqnarray*} | x^{3} +\frac{1}{|x |-2 }-(2(x-1)+2\left(x-1\right)^{2} | <32\left(x-4\right)^{4} \end{eqnarray*}$

Und ganz genau so steht es in der Aufgabe? Mitsamt der fehlenden Klammer?

14.07.2013, 21:50

Martin19

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Sorry, jetzt weiss ich was du meinst:

$\begin{eqnarray*} | x^{3} +\frac{1}{|x |-2 }-(2(x-1)+2\left(x-1\right)^{2} | <32\left(x-4\right)^{4} \end{eqnarray*}$

So soll es heißen.

14.07.2013, 21:53

Martin19

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Das Taylorpolynom, der Ausgangsfunktion in der Ungleichung, steht vollkommen in der Klammer, auch der Exponent 2 ganz am Ende!

14.07.2013, 22:04

Che Netzer

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Und das, was auf der rechten Seite steht, stimmt auch so?

14.07.2013, 22:11

Martin19

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Woher erkennst du das?
Da war tatsächlich ein Fehler. Jetzt stimmt es aber!

$\begin{eqnarray*} | x^{3} +\frac{1}{|x |-2 }-(2(x-1)+2\left(x-1\right)^{2} | <32\left(x-1\right)^{4} \end{eqnarray*}$

(Ich weiss nicht ob er die Klammer bzgl. T(x) ink. exponent 2 anzeigt, da soll aber aufjedenfall eine ganze Klammer sein).

14.07.2013, 22:15

Che Netzer

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Ah, jetzt stimmt es? Die Klammer fehlt allerdings immer noch...

Naja, dann schreib mal den Fehler des Taylor-Polynoms dritten Grades auf.

14.07.2013, 22:46

Martin19

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So, es folgt

$\begin{eqnarray*} R_{3}(x)=|\frac{24*\left(\xi-1\right)^{4} }{\left(\sqrt{\xi^{2}} -2 \right)^{5} }*\frac{1}{24} |\leq 32\left(x-1\right)^{4} \end{eqnarray*}$

14.07.2013, 22:48

Martin19

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$\begin{eqnarray*} |\frac{24*\left(x-1\right)^{4} }{\left(\sqrt{\xi^{2}} -2 \right)^{5} }*\frac{1}{24} |\leq 32\left(x-1\right)^{4} \end{eqnarray*}$

So oder ?

14.07.2013, 22:50

Che Netzer

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Wir sind hier nur im positiven Bereich, d.h. $\begin{eqnarray*} \sqrt{\xi^2}=\xi \end{eqnarray*}$ .
Aber ansonsten stimmt alles. Gibt es dann noch Fragen?

14.07.2013, 23:03

Martin19

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Ja, also ich kann ganz normal kürzen oder (Da ich das ebend vor dem Leergang des Akkus gelassen hatte)?^^

Jetzt würde mich interessieren für was das xi steht. Ich hatte das nach einer Musteraufgabe im Internet gerade nachgerechnet. (x-x0) bleibt immer in abhängigkeit von x und die ganze Funktion Rn auch oder? Ich ersetze nur die ,,Ausgangsableitung" mit xi beim bilden des Fehlers?

War den das nun alles was verlangt war? Also wäre ich jetzt mit der Aufgabe fertig?

Dann würde mich noch was ganz wichtiges interessieren. Welchen Entwicklungspunkt wähle ich, wenn keiner gegeben ist? Woran erkenne ich das.

Es wäre wirklich hilfreich wenn du mir hier noch weiterhelfen könntest.

Ich bedanke mich wirklich vom herzen im voraus! Freude

Freude

14.07.2013, 23:06

Che Netzer

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Zitat:

Original von Martin19
Jetzt würde mich interessieren für was das xi steht. Ich hatte das nach einer Musteraufgabe im Internet gerade nachgerechnet. (x-x0) bleibt immer in abhängigkeit von x und die ganze Funktion Rn auch oder? Ich ersetze nur die ,,Ausgangsableitung" mit xi beim bilden des Fehlers?

Dann sieh dir mal an, wie genau die Fehlerabschätzung formuliert wurde.

Zitat:

War den das nun alles was verlangt war? Also wäre ich jetzt mit der Aufgabe fertig?

Wenn du verstanden hast, was du getan hast: ja.

Zitat:

Dann würde mich noch was ganz wichtiges interessieren. Welchen Entwicklungspunkt wähle ich, wenn keiner gegeben ist? Woran erkenne ich das.

Darauf weisen die Ausdrücke $\begin{eqnarray*} (x-{\color{red}1}) \end{eqnarray*}$ mit verschiedenen Potenzen hin.

14.07.2013, 23:25

Martin19

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Zitat:

Original von Che Netzer

Darauf weisen die Ausdrücke $\begin{eqnarray*} (x-{\color{red}1}) \end{eqnarray*}$ mit verschiedenen Potenzen hin.

Kannst du das bitte noch etwas genauer erklären. Das sagt mir leider nicht viel.

14.07.2013, 23:27

Che Netzer

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Entwickelt man um $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , so treten Terme der Form $\begin{eqnarray*} (x-x_0)^k \end{eqnarray*}$ auf.
Umgekehrt kann das Auftreten von Termen der Form $\begin{eqnarray*} (x-x_0)^k \end{eqnarray*}$ darauf hinweisen, dass um $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ entwickelt wurde.

14.07.2013, 23:38

Martin19

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Kannst du bittte ein Beispiel nennen? Das klingt gerade etwas verwirrend.

15.07.2013, 08:03

Che Netzer

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Zitat:

Original von Martin19
$\begin{eqnarray*} | x^{3} +\frac{1}{|x |-2 }-(2{\color{red}(x-1)}+2{\color{red}\left(x-1\right)^{2}} | <32{\color{red}\left(x-1\right)^{4}} \end{eqnarray*}$

Anhand dieser Terme kann man vermuten, dass man irgendetwas (den Rest) um Eins entwickeln muss, wenn einem das nicht vorgegeben wurde.

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