Verschoben! Praktische Anwendungsaufgabe - Ebenen - Seite 2

19.07.2013, 00:49

Benutzername1

Alles klar smile

Dann weiß ich jetzt wie ich morgen vorzugehen habe.

Würd' mich freuen, wenn Du dann nochmal vorbeischauen könntest.

Wünsche noch einen angenehmen Abend smile

19.07.2013, 00:56

opi

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Ich werde morgen wieder on Board sein.

Zur Winkelbestimmung gebe ich Dir noch ein Bilderl mit, völlig unkommentiert.

[attach]30984[/attach]

Nun darftst Du einfach in Ruhe nachdenken, was ich Dir damit zeigen möchte.

19.07.2013, 23:10

Benutzername1

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Soo da bin ich wieder.

Leider werde ich aus deiner Abbildung nicht so recht schlau. Wie man den Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen berechnet weiß ich aber etwa, falls das dargestellt ist. O.o

Habe nun aber - wer hätte das gedacht? - mal wieder ziemliche Probleme beim erstellen der 2. Ebene bzw. deren Koordinatengleichung gehabt. Bis ich kapiert habe, dass man das r nicht auf herkömmlichen Wege eleminieren kann und statdessen einfach eine Variable weglässt... Hammer

Schließlich kam ich dann aber doch auf dein Ergebnis smile

Nochmal übersichtlich:

$\begin{eqnarray*} Z_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} Z_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} -3 \\ -5 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = Z_1 - Z_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} s = Z_1 - B = \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E : \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (I) x_1 = -1 - 2r + 2s \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (II) x_2 = 4 + 8r + 9s \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (III) x_3 = 4 + r - s \end{eqnarray*}$

2 * (III) + (I) =
$\begin{eqnarray*} 2x_3 + x_1 = 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 + 2x_3 = 7 \end{eqnarray*}$

Habe nun also die beiden Ebenengleichungen...:

$\begin{eqnarray*} -15x_1 - 8x_2 + 34x_3 = 119 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} x_1 + 2x_3 = 7 \end{eqnarray*}$

... die zugleich auch die Normalenvektoren der Ebenen sind:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -15 \\ -8 \\ 34 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Schnittwinkel:
$\begin{eqnarray*} cos \gamma = \frac{(-15 * 1) + (-8 * 0) + (34 * 2)}{\sqrt{1445} * \sqrt{5} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos \gamma = \frac{53}{85} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos \gamma = 0,6235 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma = 51,42° \end{eqnarray*}$

Und ich glaube nun muss ich noch 180° - 51,42° rechnen oder ?

Ich hoffe das stimmt soweit smile

20.07.2013, 00:21

opi

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Das sieht alles recht gut aus. Freude

$\begin{eqnarray*} \gamma \approx 51 {,}4{\color{red}3} ^\circ \end{eqnarray*}$
Hier runde ich anders.

Zitat:

Und ich glaube nun muss ich noch 180° - 51,42° rechnen oder ?

Ja, dies soll meine Abbildung zeigen. Der Schnittwinkel zweier (endlosen!) Ebenen ist nicht unbedingt gleich dem eingeschlossenen Winkel zweier begrenzter Flächen.

20.07.2013, 00:32

Benutzername1

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Dann ist ja nun endlich die Aufgabe geschafft.

Vielen, vielen Dank für deine Hilfe und Geduld Opi.
Wünsche noch ein schönes Wochenende. smile

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