Verschoben! Praktische Anwendungsaufgabe - Ebenen

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Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »
Praktische Anwendungsaufgabe - Ebenen
Hallo (nochmal) zusammen.. Leider lief bei der ersten einstellung meiner Frage etwas falsch und die Aufgabenstellung wurde nicht korrekt übernommen.

Also neuer Versuch:

Die in der -Ebene eines rechtwinligen Koordinatensystems liegenden Fußpunkte von vier gleich hohen und lotrecht stehenden Pfosten der Höhe h = 5m haben die Koordinaten, , und.

An den Pfostenspitzen wird eine elastische Plane befestigt. Damit Regenwasser besser ablaufen kann und sich nicht in der Mitte der Plane sammelt, wird eine gerade, starre Stange so von oben auf die Plane gelegt, dass eine V-förmige Dachform entsteht. Die Stangenenden werden durch zwei am Boden befestigte Seile nach unten gezogen und befinden sich dadurch in den Punkten und .

a) Zeigen Sie, dass die Fußpunkte der Pfosten ein Quadrat bilden.
b) Welche Länge d hat die Stange, welchen Winkel bildet sie mit der -Ebene ?
c) Die Plane soll durch zwei ebene Glasplatten ersetzt werden, die V-förmige Dachform aber erhalten bleiben. Warum ist das mit den bisher verwendeten (sechs!) Befestigungspunkten nicht möglich?
d) Um die Forderung laut c) zu erfüllen, muss der Architekt die Pfosten und erhöhen. Um welchen Betrag?
e) Welchen Winkel bilden die beiden Dachteile nun miteinander?


Meine Ideen: Außer a) habe ich bisher leider nichts geschafft. unglücklich

Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.

Anbei noch eine Skizze (Leider habe ich es nicht hinbekommen, die Dachkonstruktion farbig hervorzuheben)
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Woran hakt es denn bei b)? Die Stange verläuft vom Anfangs- bis zum Endpunkt, Du mußt also nur den Abstand zweier Punkte berechnen. Ähnliches hast Du in Aufgabenteil a) bereits geschafft. Die Frage nach dem Winkel erscheint zunächst etwas drollig, da die Stange den Boden nicht berührt. Berechne den Winkel zwischen der x1x2-Ebene und der Geraden durch die Punkte Z1 und Z2. Dies ergibt dann ein Maß für die "Schräge" des Dachablaufs.

Zitat:
c) Die Plane soll durch zwei ebene Glasplatten ersetzt werden

Ich habe ein Wort hervorgehoben, vielleicht reicht das schon.
Nun darf erst einmal etwas von Dir kommen. smile
 
 
Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine und sry für meine späte Antwort!

Hmm.. Für b habe ich nun nun zwei Ansätze:

Zuerst Z1-Z2 rechnen: (-2 | 8 | 1) und dann


d = 8,30

Oder:


d = 8,06

Beide Ergebnisse sind zwar nahe dran an dem was ich bei der Zeichnung ablesen kann (8.25cm) aber eben nicht ganz gleich. verwirrt

Zum Winkel: Hier muss ich ja zuerst einmal eine Geraden- bzw. Ebenengleichung aufstellen oder? :

r = P2 - P1
s = P3 - P1



Und als Geradengleichung:
r = Z1 - Z2 = (-2 | 8 | 1)



Nun habe ich allerdings wieder Probleme:
Um den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene zu berechnen brauch ich ja den Normalenvektor der Ebene E. Nur bin ich mir etwas unsicher ob ich das so richtig gemacht habe:

Als Parameterform geschrieben (die 0en habe ich der übersichthalber mal mit hingeschrieben) :




Habe zuerst: 4 * (II) - (I) gerechnet und kam damit auf die Gleichung
Dann habe ich: 2 * (I) - 3 * (IV) gerechnet und kam so auf die Koordinatengleichung: 3 * (4x_2 - x_1) = -45 =

Als Normalenvektor für die Ebene E hätte ich jetzt also: (-3 | 12)

Um den Schnittwnkel zu berechnen brauche ich ja außer dem Normalenvektor der Ebene E den Richtungsvektor von g. Also:






verwirrt Kommt mir nun allerdings irgendwie so vor, als hätte ich den ein oder anderen Fehler gemacht. unglücklich
An c) wage ich mich deshalb lieber noch nicht. O.o

Würd mich freuen, wenn mi9r nochmal jemand helfen könnte smile
opi Auf diesen Beitrag antworten »

ist richtig.
Schreibe bitte nicht sondern Das Minus muß mitquadriert werden. Wenn man richtig rechnet, führen beide Ansätze zum gleichen Ergebnis. Augenzwinkern

Die Gleichung der x1x2-Ebene in Parameterform ist richtig, allerdings sehr umständlich. Der Nullvektor als Stützvektor und zwei Koordinatenachsen als Spannvektoren hätten es auch getan.

Deine Umformung in die Koordinatenform ist falsch, im zweiten Schritt handelst Du Dir wieder den Parameter ein.
Man nennt die Koordinatenform auch die parameterfreie Form der Ebenengleichung. Ziel ist es, eine Gleichung ohne Parameter zu erhalten.

Zitat:


In dieser Gleichung ist kein Parameter vorhanden, genügt also den Anforderungen. Big Laugh

In der Formel für den Schnittwinkel Gerade/Ebene sollte der Sinus stehen, sonst muß man anschließend noch weiterrechnen. Bitte in der Formelsammlung nachsehen.
Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort!

Also muss ich mit und rechnen?

Wenn ich das tue komme ich allerdings auf 0. Und das kann ja eigentlich nicht sein verwirrt
opi Auf diesen Beitrag antworten »

entspricht
Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit:
und rechnen?


= 0,124
= 7,13° ?
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Hatten wir uns nicht schon auf geeinigt? Was sucht die 65 dort?
Lehrer Bitte etwas mehr Konzentration!
Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ups
Es wird spät... Hammer

Mit 69 komme ich nun auf:


= 0,124
= 6,91°

Ich hoffe das stimmt. O.o
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Der gerundete Winkel stimmt jetzt.

Zitat:
Original von Benutzername1
= 0,124

Hier hast Du aber wieder das falsche Zwischenergebnis in den Rechenweg kopiert. traurig
Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje.. unglücklich
Ich glaube ich mache dann für heute besser Schluss.^^
Um c) und d) mache ich mir dann morgen Gedanken.

Aber vielen Dank für deine Hilfe nocheinmal! smile
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Schlafpause kann manchmal Wunder bewirken, gute Nacht! Schläfer
Deine weiteren Überlegungen schaue ich mir dann morgen an, für c) hatte ich ja bereits einen Hinweis gegeben.
Benuterzname1 Auf diesen Beitrag antworten »

Soo nun geht's weiter Hammer

Leider habe ich aber keinen Geistesblitz heute bekommen. unglücklich

Zu c) fällt mir folgende Erklärung ein: Die V-förmige Dachform ist entstanden, weil die Stange d die Plane teilt und diese mithilfe der Befestigungen(Z1 u. Z2) an einer Seite weiter nach unten gezogen wurde.
Mit "starren" (bzw. ebenen) Glasplatten ist dies nicht möglich, da diese nicht biegsam sind. (?)
Weil A und D nicht auf der selben Höhe (wie C und B) liegen, kann die V-förmige Dachform nicht erhalten bleiben.

Nun hänge ich mal wieder fest. Ich könnte mir denken, dass ich irgendwie die Höhe von bzw. bestimmen muss und dann die Höhe von bzw. davon subtrahiere. (?)

verwirrt

Würde mich freuen, wenn mir nochmal jemand helfen könnte smile
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Benuterzname1

Weil A und D nicht auf der selben Höhe (wie C und B) liegen, [...]

So? Wie groß ist denn der Höhenunterschied? Wie lang sind die Strecken etc. und warum war diese Länge bereits bekannt?

Starre ebene Glasplatten sind nicht biegbar, mir ist dies noch nie gelungen. Alle Punkte einer Platte müssen in einer Ebene liegen. ( Bei der Bearbeitung von c) schon an d) denken! Augenzwinkern )
Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm.. Ich weiß gerade wirklich nicht wie ich vorgehen soll unglücklich

Eigentlich müssten ja doch ABCD auf der selben höhe liegen. Schließlich heißt ja es in der Aufgabe "[...] Fußpunkte von vier gleich hohen und lotrecht stehenden Pfosten der Höhe h = 5m [...]

verwirrt

Ich würde jetzt mutmaßen, dass P1 und P2 um 1m erhöht werden müssen.
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Benutzername1
Ich würde jetzt mutmaßen, dass P1 und P2 um 1m erhöht werden müssen.


Wie begründest Du Deine Mutmaßung? Wie bist Du dazu gekommen?
Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

An der rechnerischen Begründung hapert es. unglücklich

Dazu gekommen bin ich indem ich mir die Skizze angesehen habe. Habe da allerdings wohl etwas geschummelt, denn ich hab die Zeichnung in 3d erstellt und konnte mir so ungefähr denken, wie hoch P1 und P2 sein müssten damit der "knick" in der Ebene ausgeglichen wäre.
Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

Finger1
Oder wohl etwas mathematischer ausgedrückt: Weil Z1 einen Meter höher als Z2 liegt.
Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

Sry für die Doppelposts aber habe gerade einen kleinen Gedankenfluss.. Big Laugh

Hätte ich nun nicht c) und d) beantwortet? Muss hier wirklich gerechnet werden?

Also nochmal zusammengefasst:

c) Es ist deshalb nicht möglich, weil Z1 und Z2 nicht auf einer Höhe liegen und Glasplatten sich nicht verbiegen können.

d) P1 und P2 müssten um 1m erhöht werden weil der Höhenunterscheid zwischen P1,P2 und Z_1 1m beträgt.
Bzw.: Um eine ebene Fläche zu erhalten, müssen P1 u. P2 um 1m erhöht werden.
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Die Erhöhung der beiden Pfosten um einen Meter ist richtig, Deine Begründung reicht allerdings nicht aus. Auch wenn und auf einer Höhe liegen würden könnte es sein, daß die Stange verdreht bzw. unsymmetrisch auf der Plane läge. Es wären zwar Begründungen mit einem Parallelogramm bzw. Pythagoras möglich, ich rate davon aber dringend ab. Die Gefahr ist sehr groß, daß Längenzunahmen mit Höhenzunahmen (z-Koordinate) gleichgesetzt oder verwechselt werden.

Besser: Stelle die Ebenengleichung durch und auf und prüfe, ob Punkt in dieser Ebene liegt. Da er es nicht tut, mache die z-Koordinate passend. smile
(Mir ist bewußt, daß ich mir mit diesem Ansatz widerspreche und die Tatsache nutze, daß der Pfosten senkrecht auf der x1x2-Ebene steht.)

Die Normalenvektoren der Ebenen benötigst Du für die Winkelbestimmung sowieso.
Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

Schade.. Big Laugh Und ich dachte wenigstens einmal das gerechne umgehen zu können. ^^
Aber reicht eine schriftliche Begründung für c) wirklich nicht aus?

"Auch wenn und auf einer Höhe liegen würden könnte es sein, daß die Stange verdreht bzw. unsymmetrisch auf der Plane läge."

In der Aufgabenstellung ist ja von einer "starren Stange" die Rede. verwirrt

Und könntest Du mir vielleicht nochmal erklären was ich damit beweisen würde wenn ich überprüfe ob Punkt D in der Ebene (Z1,Z2,C) liegt? Bzw. wie ich auf diesem Weg dann auf die 1m Erhöhung komme? Das habe ich leider noch nicht ganz verstanden.

Nochmal vielen Dank für deine Hilfe und Geduld! smile
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die starre Stange von bis verliefe, wären die Endpunkte zwar auf einer Höhe, Glasplatten wären aber trotzdem nicht möglich. Augenzwinkern

Wenn Du zeigst, daß Punkt D nicht in der beschriebenen Ebene liegt, hast Du auch gezeigt, daß sich keine ebene Platte durch diese vier Punkte legen läßt.

Stelle die Koordinatengleichung der Ebene durch (Z1,Z2,C) auf und setze ein. Diese Gleichung kannst Du dann nach z auflösen.
Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann will ich es mal versuchen o.O

Die Koordinaten des Punktes C mus sich aus der Skizze ablesen oder? C(-5 | 3 | 5)

r = Z2 - Z1 =
s = C - Z1 =



Nun hab ich wieder Probleme mit der Koordinatenform unglücklich

Mein bisheriger Ansatz:

(I)
(II)
(III)

Habe zuerst (II) + (III) gerechnet und kam so auf

(IV)

Und um nochmal s zu eliminieren:

4 * (II) - (I) =

(V)

Hab nun also

(IV) und
(V)

Und weiß jetzt nicht, wie ich r eliminieren kann. unglücklich Geschweigedenn ob der Regenweg überhaupt richtig ist.
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Deiner Skizze ist Punkt C das Ende des von P4 beginnenden Pfostens und hat die Koordinaten (5|-3|5).

Dein Rechenweg sah gut aus, nützt Dir aber wenig. traurig
Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje.. Das kommt davon wenn man zwei mal die Skizze zeichnet..

s ist also

Und die Ebene damit:

(I)
(II)
(III)

Habe nun zuerst: 6 * (III) - (I) =

(IV) 6x_3 - x_1 = 25 - 4r

und dann 7 * (III) + (II) =

(V) 7x_3 + x_2 = 32 - 15r

gerechnet.

Um jetzt r zu eliminieren hab ich 15 * (IV) - 4 * (V) gerechnet:

15 * (x_3 + x_2) - 4x_1 = 247

verwirrt Stimmt das?
Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

Glaub beim Endergebnis für die Koordinatengleichung hab ich einen Fehler gemacht:




15 * (IV) - 4 * (V)

=
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Fast:

Zitat:
Original von Benutzername1




Hier hast Du einen Vorzeichenfehler.

(Ich hoffe, daß ich selbst langsam nicht den Überblick über die Punkte verliere. geschockt )
Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub ich verkompliziere auch langsam das ganze immer weiter Big Laugh

(IV)
(V)

Jetzt habe ich aber wieder ein Problem damit r zu eliminieren unglücklich
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Och.. jetzt gibt es doch nur noch wenig zu tun.

(IV)*15+(V)*(-8)...
Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer

Mit 15 * (IV) - 8 * (V) komme ich auf:



Ich hoffe das stimmt O.o
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Der Koeffizient von x3 stimmt nicht.
Was ist denn ?
Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

Mist.


? O.o
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Wozu soll die Klammer dienen?
Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt
Die Klammer wegen der 15 * (IV) bzw. der

Oder weil ich noch nicht ausmultipliert habe? :

Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder moment..

Meintest Du so:


opi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von opi
(IV)*15+(V)*(-8)...


(IV)*15:
(V)*(-8):

Du hast noch einen neuen Beitrag angefügt: Ja, so meinte ich das.
Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal sry. Ich glaub das wird wirklich zur Geduldsprobe hier. Big Laugh

Also:


Und nun einsetzen:

(-15 * 3) - (8 * 5) + 34z = 119
-85 + 34z = 119 | +85
34z = 204 | : 34
z = 6

Ich glaube die Rechnung ist endlich aufgegangen oder? smile
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so ist es richtig.

Für die andere Seite benötigst Du auch noch die Ebenengleichung, da in Aufgabenteil e) nach dem Winkel zwischen den Ebenen gefragt wird.

Stelle also eine Koordinatengleichung durch Z1, Z2 und B auf. (Die Namen habe ich Deiner Skizze im Board entnommen.)

würde mich nicht überraschen. Augenzwinkern
Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube für heute mache ich besser Schluss. Sonst hagelt es gleich wieder Flüchtigkeitsfehler. Big Laugh

Aber: Muss ich für e) nicht nun zwei völlig neue Ebenengleichungen erstellen? Also mit den Punkten (ich vernachlässige mal die zwei verschiedenen Skizzen) A(5, -3, 6), B(3,5,6), C(-5,3,6), D(-3, -5, 6) und Z1(-1,4,4), Z2(1,-4,3)

?
Nochmal tausend Dank für deine Hilfe!
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Eine Glasplatte wird durch die bereits berechnete Ebene dargestellt, für die andere Platte hatte ich ein mögliches Kontrollergebnis hingeschrieben. Alles halb so wild. Augenzwinkern
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