Konvergenz von 2 Funktionen - Seite 2 |
| 04.08.2004, 20:26 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn man das Argument von SirJective (die konstante Folge) mit dazunimmt kann man das schon so lesen. gruß mathemaduenn |
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| 04.08.2004, 20:30 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, betrachte die Folge (x0,x0,...) Ihr Grenzwert ist f(x0) und wenn der Grenzwert der Funktion existieren soll, müssen damit auch die Bildfolgen aller anderen Folgen mit der geforderten Eigenschaft gegen f(x0) konvergieren (siehe Definition des Grenzwertes) und das ist ja üblicherweise gerade die Stetigkeit der Funktion. Alles in allem ist diese Definition ja genau das, was SirJective gesagt hat, damit hat er natürlich auch keinen Denkfehler begangen, Entschuldigung hierfür. Ich hätte nur niemals gedacht, dass es tatsächlich so eine Definition gibt, für mich war ganz klar, dass der Grenzwert nichts mit dem Funktionswert an der Stelle zu tun haben darf und deshalb dachte ich, das sei da übersehen worden. Edit: Zu langsam. |
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| 04.08.2004, 21:55 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Philipp, man lernt nie aus :-) Es gibt einen Grenzwertbegriff von f bei x_0, bei dem das Argument x_0 selbst von den Argumentfolgen ausgeschlossen ist. Und es gibt den von mir beschriebenen. Dito beim epsilon-delta-Kriterium: Mir käme nie in den Sinn, x = x_0 auszuschließen. Es gibt jedoch Anwendungen, in denen das nötig ist, z.B. wenn man wissen will, ob eine Funktion in einen Punkt - vielleicht auch durch Ersetzung eines schon vorhandenen Funktionswertes - stetig fortgesetzt werden kann. Wieder mal stellen wir also fest, dass derselbe Ausdruck je nach Autor verschiedene Bedeutungen hat, und man - wieder mal - genau dazusagen muss, was man meint. Die Definition von Forster enthält übrigens genau die Redundanz, die ich beschrieben habe. Sie ist allerdings üblich, und so wie Stetigkeit im Forster definiert wird, ist sie auch mit deinem Begriff des Grenzwertes einer Funktion verträglich. Die Indikatorfunktion von {0} ist also in 0 unstetig, und hat je nach Definition entweder den Grenzwert 0 in der 0, oder keinen Grenzwert. Bei den Begriffen linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert herrscht aber wohl Einigkeit, oder? (Da ist x_0 explizit ausgeschlossen.) Gruss, SirJective |
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| 04.08.2004, 22:26 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@mathemaduenn & Philllip: Alles klar, lange Leitung meinerseits. Edit: Ich hätte übrigens aus dem Gefühl bzw. der Erinnerung heraus Philllip zugestimmt. |
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| 05.08.2004, 16:55 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi SirJective. Ich hätte einfach nie gedacht, dass es für einen so grundlegenden Begriff der Mathematik tatsächlich so unterschiedliche Definitionen gibt, deshalb kam mir auch gar nicht in den Sinn, dass es die von dir angesprochene Definition tatsächlich geben könnte. Noch zu den einseitigen Grenzwerten: Wie ist es denn mit folgendem Satz (nicht streng mathematisch formuliert, aber ich denke, wir verstehen uns; x0 soll zum Beispiel ein "braver" Punkt sein, also kein Randpunkt und auch nicht "nach rechts oder links isoliert" etc, ich spare mir das): existiert genau dann, wenn und existieren und übereinstimmen. Der gilt dann also bei dieser Definition des Grenzwertes nicht? |
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| 05.08.2004, 17:56 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Phillip_ER, Du könntest den Grenzwert im Satz auch so formulieren Sieht nicht so schön aus aber jeder weiß welche Definition des Grenzwertes Du meinst. gruß mathemaduenn |
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