Konvergenz von 2 Funktionen |
02.08.2004, 21:08 | Mathestudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Konvergenz von 2 Funktionen ich habe heute meine Analysis 1 Klausur geschrieben und da mußten wir bei einer Aufgabe nachweisen das 2 Funktionen stetig waren. Die beiden Funktionen lauteten: f(x) = für x und 0 für x=0 g(x) = für x und 0 für x=0 Ist es richtig das die Funktion f(x) im Nullpunkt unstetig ist und die Funktion g(x) stetig? Gezeigt habe ich das durch den links- und rechtsseitigen Grenzwert. Also: für x>0 und für x<0 Jetzt Werte eingesetzt: Für x>0 ergibt das: = 8,414... = 84,14... = 841,4... Dann erkennt man das für x>0 gegen geht Jetzt für x<0: = -8,414... = -84,14... = -841,4... Daraus folgt: für x<0 geht gegen d. h. also, das links- und rechtsseitiger Grenzwert ungleich sind. Daraus folgt das keine Stetigkeit im Nullpunkt vorliegt. Ist der Beweis schlüssig genug? Vielen Dank für eure kritische Bewertung. Mathestudent PS: Die andere Funktion g(x) habe ich genauso gelöst, aber hierbei habe ich Stetigkeit im Nullpunkt rausbekommen. Ist das richtig? Nochmals danke. |
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02.08.2004, 21:20 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenz von 2 Funktionen Für : Es kann nich gegen unendlich (-unendlich) gehen, da sin(irgendetwas) nie größer als 1 (-1) wird!!! Es gibt nicht einmal einen Limes, die Werte schwanken zwischen -1 und 1. Zum zweiten: Das ist dann auch falsch, denn 1., wenn du hättest, dass der lim wieder unendlich ist, muss nach Definition der Stetigkeit auch f(0) = unendlich sein (Wie kann ein Funktionswert=unendlich sein??). 2. ist limes nicht unendlich, sondern 0!!! Beide Funktionen sind im Nullpunkt nicht stetig, da f(0) nicht definiert ist und bzw. , also Ich hoffe, das reicht erstmal. |
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02.08.2004, 21:24 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenz von 2 Funktionen Hallo Mathestudent, f(x) ist unstetig in 0 g(x) ist stetig
Die ist aber nicht richtig sin (x) nimmt nur Werte zwischen [-1,1] an. Man zeigt hier das der Grenzwert nicht eindeutig ist. beides Nullfolgen aber mit unterschiedlichen Grenzwerten. gruß mathemaduenn |
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02.08.2004, 21:25 | Mathestudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenz von 2 Funktionen Hi mathespezialschüler, heißt das jetzt 0 von 10 Punkten oder meinst du die geben mir noch einen Gnadenpunkt oder 2? Danke mathestudent |
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02.08.2004, 21:26 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenz von 2 Funktionen @mathemaduenn Waum ist g(x) in 0 stetig??? |
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02.08.2004, 21:34 | Mathestudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenz von 2 Funktionen Hi Mathespezialschüler, Laut meiner Berechnung folgt das weil der links- und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmt. Leider ist das verkehrt laut eurer Ausführung. mathestudent |
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02.08.2004, 21:51 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo MSS,Mathestudent, Man könnte einfach argumentieren sin(1/x) ist beschränkt und multiplizierrt mit einer Folge die gegen 0 geht multipliziert geht's auch gegen 0. Oder anders: Die beiden äußeren Grenzwerte existieren und gehen gg. 0. gruß mathemaduenn |
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02.08.2004, 21:52 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenz von 2 Funktionen Hallo, Mathestudent, ich hatte gefragt, weil mathemaduenn folgendes geschrieben hat:
@Mathestudent Wenn du etwas beweisen sollst, dann immer überlegen, was du zeigen musst, damit du es bewiesen hast. Wenn du beweisen sollt, dass eine Funktion stetig ist, dann musst du zeigen, dass und dass a zum Definitionsbereich gehört, denn genau dann ist die Funktion nach Definition der Stetigkeit auch stetig!! @mathemaduenn Ich hab nochmal nachgeguckt, sinngemäß steht in einem Buch: Eine Funktion f heißt stetig an der Stelle a, wenn a zum Definitionsbereich von f gehört und . Bei g(x) gehört die Null aber ebenfalls nicht zum Definitionsbereich!! |
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02.08.2004, 22:18 | Mathestudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenz von 2 Funktionen Hi, das riesige Problem von mir war auch das ich die ganzen Funktionswerte überhaupt nicht richtig bestimmt habe. Dann hätte ich gesehen das die Funktion f(x) und die Funktion g(x) NIEMALS gegen unendlich laufen können. Tja, ich hoffe ich habe wenigstens die anderen Aufgaben alle richtig gelöst. Kann mir vielleicht jemand sagen wie Mathemaduenn auf die beiden Folgen kommt mit denen er zeigt das der Grenzwert nicht eindeutig ist? Mathestudent |
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02.08.2004, 22:18 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenz von 2 Funktionen
... wieso ?? g(0) = 0 weder ebenfalls noch nicht ebenfalls, BEIDE Fkt. sind in 0 definiert *klingellingel* . |
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02.08.2004, 22:22 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenz von 2 Funktionen Ist für dich definiert?? |
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02.08.2004, 22:39 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenz von 2 Funktionen Hallo Mathestudent
Ja ich zum Beispiel @mss Mathestudent hatte ganz am Anfang geschrieben g(0)=0 dahingehend ists egal ob ich 1/0 rechnen kann oder nicht. gruß mathemaduenn |
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02.08.2004, 22:42 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenz von 2 Funktionen
... ich hab die mir nicht genauer angesehen, aber Fakt ist doch, dass die erste Fkt zwischen +-1 oszilliert. Folglich lässt sich eine unendliche Folge von Funktionspunkten entnehmen, deren Funktionswert z.B. stets 1, -1 oder auch sonstwas Fixes deiner freien Wahl zw. +1 und -1 ist. Wählst du z.B. die 'x' 'se so aus, dass 1/x = 0 modulo 2*Pi, dann sind die zugehörigen sin - Werte eben alle 0 sind die 'x' so gewählt dass 1/x = gleich 3/2*Pi modulo 2*Pi (die Folge von oben einfach um 3/2 Pi versetzt) dann sind deren sin-Werte eben alle -1 . @Mathespezialschüler, lies mal nach was ganz oben steht f(x) = g(x) = 0 für x=0 1/0 braucht dazu nirgends gebildet werden :-oo . |
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02.08.2004, 22:47 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenz von 2 Funktionen
Dass das dann egal is, is mir klar, hatte es nur nich gesehen bzw. nicht verstanden, was er mit "0 für x=0" meinte. Sorry! Dann ist g(x) naürlich stetig für 0 (und sowieso auf ganz R) |
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03.08.2004, 19:19 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenz von 2 Funktionen
Hat zwar nichts mit dem Thread zu tun, aber der Vollständigkeit halber: Woher hast du diese Definiton? Sie ist nämlich falsch bzw unvollständig (natürlich kann eine Definition eigentlich nicht falsch sein, aber das, was du schreibst, widerspricht der gängigen Definition der Stetigkeit). So wäre nach dieser Definition zum Beispiel die Funktion mit f(x)=x (der Funktionsterm spielt eigentlich keine Rolle) in 2 nicht stetig, da nicht existiert, dabei ist diese Funktion nach allen gängigen Definitionen der Stetigkeit sehr wohl in 2 stetig. Auch Folgen wären nach dieser Definition keine stetigen Funktionen, was jedoch der Fall ist. Überprüfe bitte nochmal, ob das da wirklich so steht. |
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03.08.2004, 19:43 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenz von 2 Funktionen Ok, dann als Zitat. Anmerkung: Die Limes-Schreibweise in diesem Buch ist etwas anders, es gilt:
Quelle: Rudolf Brauner und Fritz Geiß: Abiturwissen Mathematik Weltbild Verlag, Augsburg 2000 Wenn diese nicht die geläufige ist ( ), dann nennt mir bitte die geläufige, damit ich nich so unwissend bleib *g* |
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03.08.2004, 19:54 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Naja, es ist nur eine Kleinigkeit. Diese Definition gilt nur, wenn a Häufungspunkt des Definitionsbereiches ist. Es müsste noch dabei stehen, dass f in a auch stetig ist, wenn a ein isolierter Punkt des Definitionsbereiches ist, obwohl in diesem Fall kein Grenzwert existiert. Sonst ist diese Definition nicht äquivalent zum epsilon-delta-Kriterium und zur Folgendefinition, dabei sind das wohl die "wichtigeren" Definitionsmöglichkeiten der Stetigkeit. |
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03.08.2004, 20:36 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
D.h. Stetigkeit wird auch übers epsilon-delta-Kriterium definiert?? Kannst du mir diese Definition mal nennen? |
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03.08.2004, 20:49 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo Phillip_ER,
Die limes - Schreibweise ist imho eine Abkürzung für die Definition per Folgenstetigkeit. f ist in a stetig wenn für jede Folge aus dem Definitionsbereich von f die gegen a konvergiert die Folge der Funktionswerte gegen f(a) konvergiert. Damit ist dann auch der Grenzwert definiert. Du hast sicherlich Recht wenn Du meinst in einem Buch das "Analysis I" oder ähnlich heißt würde es wahrscheinlich kompletter definiert werden. gruß mathemaduenn Edit @MSS Schau mal hier |
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03.08.2004, 21:03 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi mathemaduenn, was da steht, das ist doch die Definition für den Grenzwert g=f(x0), d.h. sie is identisch mit meiner oder nich?? |
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03.08.2004, 21:11 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo MSS, Stetigkeit ist Stetigkeit natürlich müssen die beiden Definitionen irgendwie ineinander überführbar sein. gruß mathemaduenn |
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03.08.2004, 21:20 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, falsch ausgedrückt, hier müsste doch auch wieder stehen, x0 ist Häufungspunkt oder nich?? Dann wären die isolierten Punkte wieder nich dabei |
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03.08.2004, 21:30 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Philipp-ER, ich kann eigentlich nicht erkennen warum die von dir angegebene Funktion im isolierten Punkt 2 keinen Grenzwert nach 'eps-delta' haben sollte, oder existieren Grenzwerte per Definition nur an Häufungspunkten. Was spräche gegen die Definition des Grenzwertes an einer isolierten Stelle als eben den isolierten Zuordungswert zu dieser Stelle. . |
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03.08.2004, 21:45 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo MSS, Alle mir bekannten Definitionen "greifen" auf dem Definitionsbereich von f von daher ist die Diskussion wg. der isolierten Punkte imho unnötig , weil isolierte Punkte bezgl. des Definitionsbereichs lt. Bronstein nicht zum Definitionsbereich gehören. gruß mathemaduenn Edit: @Phillip_ER deine Argumentation mit dem Häufungspunkt verstehe ich daher nicht da jeder Punkte des Definitionsbereichs Häufungspunkt des Definitionsbereichs ist oder? |
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04.08.2004, 00:27 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi Poff. In der Tat ist der Grenzwert einer Funktion nur für Häufungspunkte des Definitionsbereiches definiert. Würde man für das epsilon-delta-Kriterium auch isolierte Punkte zulassen, so würde, wenn ich gerade keinen Denkfehler begehe, für einen solchen isolierten Punkt jede reelle Zahl die Definition des Grenzwertes erfüllen, was sicher nicht sinnvoll ist. @Mathespezialschüler: In der epsilon-delta-Definition der Stetigkeit muss x0 kein Häufungspunkt sein. Überlege dir mal, was die Ungleichungen in der Definition aussagen, wenn x0 ein isolierter Punkt ist. Du wirst feststellen, dass eine Funktion in einem isolierten Punkt ihres Definitionsbereiches immer stetig ist. |
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04.08.2004, 12:55 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, Philipp, kannst du mir dann erstmal ne Definition für "isolierter Punkt" geben?? Und kann mir jemand sagen, was das umgedrehte A und das umgedrehte E bedeuten!? |
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04.08.2004, 13:23 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo MSS, Hatte da zunächst Quatsch erzählt hab aber nochmal nachgeschaut. Isolierter Punkt: Man hat eine Menge A und es gilt wobei U(x) allgemein eine Umgebung von x ist. In den reellen Zahlen kann man sich auf die Betrachtung von beschränken. Aber wie gesagt es ist eben die Frage ob man Grenzwerte auf R definiert oder auf dem Definitionsbereich. gruß mathemaduenn |
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04.08.2004, 13:33 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und was heißt und das auf den Kopf gestellte A?? |
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04.08.2004, 13:42 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo MSS
es existiert
keine Ahnung gruß mathemaduenn |
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04.08.2004, 13:47 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
"für alle" @mathemaduenn: Keine Ahnung?? |
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04.08.2004, 13:54 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
:rolleyes: |
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04.08.2004, 13:59 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo und entschuldigt, dass ich mich erst jetzt einmische ;-)
Das hängt von der Definition des Ausdrucks ab. Wie definiert ihr den, Poff, Philipp?
Du übersiehst, dass die stationäre Folge (x_0, x_0, ...) noch da ist, die mindestens beim epsilon-delta-Kriterium nicht ausgeschlossen wird (bei manchen Definition des Folgengrenzwertes dagegen - unnötigerweise! - schon).
Richtig, gerade weil die einzige gegen x_0 konvergente Argumentfolge die stationäre Folge (x_0, x_0, ...) ist. Mir ist erst kürzlich aufgefallen, dass die Definition von Stetigkeit redundant ist, wenn verlangt wird, dass der Limes mit dem Funktionswert übereinstimmen muss. Die stationäre Argumentfolge (x_0, x_0, ...) sorgt im Falle der Existenz des Grenzwertes automatisch dafür, dass er gleich dem Funktionswert ist. Anders ist es dagegen, wenn der Grenzwert so definiert ist, dass nur Argumente ungleich x_0 zugelassen sind, aber das halte ich für sinnlos, falls x_0 im Definitionsbereich der Funktion liegt. Die einzigen Forderungen, die ich an eine stetige Funktion stellen würde, wären also, dass sie im betrachteten Punkt x_0 definiert ist, und dass der Funktions-Grenzwert in x_0 existiert (und zwar unter Einbeziehung des Argumentes x_0). @mathemaduenn: Wenn der Bronstein definiert, dass der Definitionsbereich nur aus Häufungspunkten des Definitionsbereichs bestehen darf, dann kommt er sofort in die Spirale, dass ja im reduzierten Definitionsbereich ehemalige Häufungspunkte nun isoliert sein können, und also ebenfalls entfernt werden müssen. Man stelle sich eine Funktion vor, die auf der Menge Z vereinigt {z + 1/n | z in Z, n in N} definiert ist. Die Häufungspunkte sind genau Z, aber wenn ich alle anderen Punkte weglasse, ist kein Punkt von Z mehr Häufungspunkt. @MSS: Die umgedrehten Buchstaben sind so genannte logische Quantoren. Sie bedeuten E="es gibt" und A="für alle". Gruss, SirJective |
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04.08.2004, 14:02 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hatte nicht genau spezifiziert wo. mein Fehler |
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04.08.2004, 14:15 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke Ben und mathemaduenn!
Also wenn ich die Defiition richtig verstanden hab, dann sagt sie doch, dass ein Funktion an der Stelle stetig ist, wenn es für jedes ein gibt, sodass für alle . Sagen wir, ich nehme Philipps Funktion (). Wenn jetz und , dann ist . Dann gibt es x (nämlich 0,5<x<1), für die die ungleichungen oben gelten. Nehme ich , dann gibt es kein mehr, sodass die obigen Ungleichungen gelten, da im Wertebereich kein Wert>0,5 vorhanden ist. Dann ist doch f in 2 nicht stetig oder?? edit: Hab den Beitrag von SirJective nich gesehn. @SirJective Heißt das dann, dass f bei 2 stetig ist, weil gilt: Für jedes gibt es ein , sodass für ??? @mathemaduenn Warum hast du in deiner Definition für den isolierten Punkt zwei Betragsstriche bei der Ungleichung unten gemacht?? |
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04.08.2004, 14:24 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo MSS, Was du bei der Definition der Stetigkeit vergessen hast ist das die x alle aus dem Definitionsbereich der Funktion stammen müssen sonst ist ja f(x) nicht definiert. Wenn x aber aus dem Definitionsbereich kommen muß gilt ja dann sowas: gruß mathemaduenn Edit: Hab dein edit nicht gelesen 2 Betragsstriche bedeuten Norm in den Reellen Zahlen ist der Betrag eine Norm. Das ist im Prinzip ähnlich nur allgemeiner formuliert (aus Gewohnheit ) |
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04.08.2004, 17:21 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi SirJective. Da begehst du aber einen großen Denkfehler, wenn ich dich richtig verstehe. Auf keinen Fall darf man, wenn man den Grenzwert einer Funktion für x gegen x0 untersucht, die Folge (x0, x0, ...) zulassen, da der Funktionswert in x0 selbst doch vollkommen unbedeutend für den Grenzwert ist. f:R->R f(x)=1 für x=0 f(x)=0 sonst hätte zum Beispiel für x->0 keinen Grenzwert, wenn man Folgen zuließe, die 0 als Wert annehmen, denn ich würde unter Umständen 1 als Grenzwert der Bildfolge erhalten (betrachte nur (0,0,...)). Bei der epsilon-delta-Definition ist es genauso: "Die Funktion f sei auf X definiert und sei ein Häufungspunkt von X. Genau dann strebt für , wenn es zu jedem ein gibt, so dass für alle x aus X mit immer ist." Wichtig ist hier das 0<... vor der 1. Ungleichung, das garantiert nämlich, dass x nicht sein kann, denn auch in diesem Fall hätte f von eben keinen Grenzwert für x->0 (es würde ja |f(0)-0|=1 gelten und damit könnte ich für epsilon=0.5 schon kein delta finden). Bei der Stetigkeit fehlt diese 0, denn dort spielt der Funktionswert an der Stelle selbst ja auch eine Rolle, beim Grenzwert ist er aber völlig unbedeutend, ja, er darf gar nicht betrachtet werden. Dass man für einen isolierten Punkt jede Zahl als Grenzwert bestätigen könnte, sieht man daran, dass man eine delta-Umgebung finden kann, in der außer überhaupt keine Punkte des Definitionsbereiches mehr liegen und damit ist die Definition des Grenzwertes mit diesem delta auch schon für jedes epilson erfüllt, egal, was für eine Zahl ich als Grenzwert haben möchte, da es ja überhaupt keine x mit gibt. |
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04.08.2004, 18:15 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo
und wäre somit unstetig in 0 Wär doch prima. Wollte nochmal ne andere Definition bringen Mathematik ist ja keine Einbahnstraße.
Stetigkeit geht dann eben ziemlich schnell
gruß mathemaduenn |
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04.08.2004, 20:09 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich kann nicht glauben, dass das so im Forster steht. Die Funktion von oben, also f:R->R mit f(x)=1 für x=0 und f(x)=0 sonst soll für x->0 wirklich keinen Grenzwert haben? Der Grenzwert für x->x0 von f mit x0 aus D_f soll nur existieren, wenn f in x0 stetig ist? Das kann doch nicht sein. |
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04.08.2004, 20:19 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Phillip: Wo liest du denn heraus, dass nur die Funktionen einen Grenzwert in x0 hat, die dort stetig ist? |
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04.08.2004, 20:20 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo Phillip_ER, ich weiß auch, daß der Grenzwert manchmal anders definiert wird. Um auf Grundlage des Grenzwertes die Stetigkeit zu definieren ist's aber imho so am praktischsten.
Deswegen hab ich's zitiert. Es ist die 4. Auflage.(ISBN 3-528-37224-9) gruß mathemaduenn |
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