Ableitung eines Diffeomorphismus invertierbar

15.07.2013, 18:08

Atze1985

Ableitung eines Diffeomorphismus invertierbar

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich habe folgendes Problem: Ich bescchäftige mich grad mich diffeomorphismen. Auf Wikipedia steht:

"Aus der Differenzierbarkeit der Umkehrabbildung folgt, dass in jedem Punkt p die Ableitung von f (als lineare Abbildung von \R^n nach \R^n bzw. vom Tangentialraum T_p M nach T_{f(p)}N) invertierbar (bijektiv, regulär, von maximalem Rang) ist."

Mir ist diese Aussage nicht klar, d.h. wie genau man von der Differenzierbarkeit der Umkehrabbildung von f darauf schließen kann, dass f umkehrbar ist.

Ich bin dankbar um jede Hilfe.

Meine Ideen:
Ich habe mir diesbezüglich schon den Kopf zerbrochen, komme aber einfach auf keine Lösung.

15.07.2013, 19:02

Che Netzer

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RE: Ableitung eines Diffeomorphismus invertierbar

Zitat:

Original von Atze1985
Mir ist diese Aussage nicht klar, d.h. wie genau man von der Differenzierbarkeit der Umkehrabbildung von f darauf schließen kann, dass f umkehrbar ist.

Der Satz ergibt natürlich keinen Sinn.

Wenn jedenfalls die Umkehrfunktion differenzierbar sein soll, muss die Ableitung invertierbar sein.
Leite $\begin{eqnarray*} \operatorname{id}=f^{-1}\circ f \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ab – dann siehst du, dass $\begin{eqnarray*} f'(p) \end{eqnarray*}$ invertierbar ist.

16.07.2013, 13:33

Leser

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RE: Ableitung eines Diffeomorphismus invertierbar
ersteinmal danke für deine Antwort, Che Netzer.

Ja du hast recht, das ergibt keinen Sinn, ich habe mich verschrieben und wollte sagen:

Mir ist diese Aussage nicht klar, d.h. wie genau man von der Differenzierbarkeit der Umkehrabbildung von f darauf schließen kann, dass die ABLEITUNG von f umkehrbar ist.

Dazu hätte ich auch noch sagen sollen, dass ich den allgemeinen Fall eines Diffeomorphismus $\begin{eqnarray*} f:V\subset \mathbb{R}^n \longrightarrow U\subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ betrachte.

Also starte ich mal einen neuen Versuch:
Im eindimensionalen Fall gilt: Sei $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ein offenes Intervall und $\begin{eqnarray*} p \in I \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} f: I \longrightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ strikt monoton, stetig und differenzierbar an p mit $\begin{eqnarray*} f'(p) \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ differenzierbar an $\begin{eqnarray*} f(p) \end{eqnarray*}$ mit der Ableitung
$\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(f(p))=1/f'(p) \end{eqnarray*}$

Offenbar muss $\begin{eqnarray*} f'(p) \neq 0 \end{eqnarray*}$ gefordert werden.
Nun zum mehrdimensionalen Fall. Ich habe eine analoge Aussage gefunden für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: U \subset \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ . Dabei wird vorausgesetzt, dass f stetig differenzierbar ist und die Funktionalmatrix $\begin{eqnarray*} D_f(p) \end{eqnarray*}$ invertierbar (bzw. die Linearisierung von f an p umkehrbar) ist.
Nun will ich aber zeigen, dass wenn man voraussetzt, dass f ein Diffeomorphismus ist, dass man dann NICHT mehr voraussetzen muss, dass $\begin{eqnarray*} D_f(p) \end{eqnarray*}$ invertierbar ist, da das (irgendwie, wie weiß ich ja gerade nicht) daraus folgt, dass f ein Diffeomorphismus ist. Auf Wikipedia hab ich nur gelesen, dass man das angeblich daraus folgern kann, dass die Umkehrabbildung von f differenzierbar ist.

Der Satz, den ich beweisen will, ist folgender:
Seien $\begin{eqnarray*} U,V \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ offen und $\begin{eqnarray*} f:U \longrightarrow V \end{eqnarray*}$ ein Diffeomorphismus. Dann gilt:
Für alle $\begin{eqnarray*} p \in U \end{eqnarray*}$ ist die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} D_f(p): \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ invertierbar und es gilt: $\begin{eqnarray*} D_{f^{-1}}(f(p))=(D_f(p))^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Meine bisherigen Ergebnisse:
$\begin{eqnarray*} id_{\mathbb{R}^n}=D_{id_{U}}(p)=D_{f^{-1}\circ f}(p)=D_{f^{-1}}(f(p))\circ D_f(p) \end{eqnarray*}$
Dabei hab ich im ersten Schritt benutzt dass die Linearisierung der identitischen Abbildung die Identität selbst ist und im letzten Schritt die Kettenregel. Um das Resultat zu erhalten muss ich nur noch $\begin{eqnarray*} (D_f(p))^{-1} \end{eqnarray*}$ an beiden Seiten anwenden (oder, wenn man $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ als Matrix auffasst, linksseitig die Inverse der Funktionalmatrix $\begin{eqnarray*} D_f(p) \end{eqnarray*}$ dranmultiplizieren)....aber gerade die Existenz davon kann ich ja nicht einfach so annehmen! Vielmehr muss ich die Existenz von $\begin{eqnarray*} (D_f(p))^{-1} \end{eqnarray*}$ daraus folgern, dass f ein Diffeomorphismus ist. DAS will ich zeigen.

Wenn irgendjemand diese Frage beantowrten kann wäre ich sehr dankbar!

16.07.2013, 13:53

Che Netzer

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RE: Ableitung eines Diffeomorphismus invertierbar

Zitat:

Original von Leser
$\begin{eqnarray*} id_{\mathbb{R}^n}=D_{id_{U}}(p)=D_{f^{-1}\circ f}(p)=D_{f^{-1}}(f(p))\circ D_f(p) \end{eqnarray*}$

Das ist die einzige Zeile aus deinem ganzen Beitrag, die du brauchst.
Wenn das Produkt zweier quadratischer Matrizen die Identität ist, dann sind beide invertierbar (und haben einander als Inverse).

16.07.2013, 15:13

Leser

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RE: Ableitung eines Diffeomorphismus invertierbar
Vielen Dank für deine Hilfe! Ich möchte aber noch eine kleine Ergänzung machen:

$\begin{eqnarray*} id_{mathbb{R}^n} = D_{id_U}(p) = D_{f^{-1}\circ f}(p)=D_{f^{-1}}(f(p))\circ D_f(p) \end{eqnarray*}$

ist NICHT alles, was ich brauche. Ich muss zudem noch zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} id_{\mathbb{R}^n} =D_f(p)\circ D_{f^{-1}}(f(p)) \end{eqnarray*}$

gilt. Dann folgt sofort die Aussage wegen

$\begin{eqnarray*} g \circ f = id \wedge f \circ g = id \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$ f ist invertierbar und es ist $\begin{eqnarray*} g=f^{-1} \end{eqnarray*}$

16.07.2013, 15:20

Che Netzer

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RE: Ableitung eines Diffeomorphismus invertierbar

Zitat:

Original von Leser
$\begin{eqnarray*} id_{mathbb{R}^n} = D_{id_U}(p) = D_{f^{-1}\circ f}(p)=D_{f^{-1}}(f(p))\circ D_f(p) \end{eqnarray*}$

ist NICHT alles, was ich brauche.

Oh doch, das hatte ich eben geschrieben.
Zur Not leitest du noch $\begin{eqnarray*} f\circ f^{-1} \end{eqnarray*}$ ab.

Zitat:

Dann folgt sofort die Aussage wegen

$\begin{eqnarray*} g \circ f = id \wedge f \circ g = id \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$ f ist invertierbar und es ist $\begin{eqnarray*} g=f^{-1} \end{eqnarray*}$

Dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ invertierbar ist, ist doch die Voraussetzung...

16.07.2013, 18:33

Leser

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RE: Ableitung eines Diffeomorphismus invertierbar

Zitat:

Dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ invertierbar ist, ist doch die Voraussetzung...

Mit dem f, welches ich in der Aussage

$\begin{eqnarray*} g \circ f = id \wedge f \circ g \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$ f ist invertierbar und es ist $\begin{eqnarray*} g=f^{-1} \end{eqnarray*}$

verwendet habe, meine ich natürlich eine beliebige Funktion, und nicht den Diffeomorphismus der konkreten Aufgabe. Ich weiß, ich hätte darauf hinweisen können, dachte jedoch, dass das klar sei. Ich habe jetzt tatsächlich die Unterlagen rausgekramt wo wir das mal bewiesen hatten, und tatsächlich haben wir damals bewiesen, dass sowohl
(i) $\begin{eqnarray*} D_{f^{-1}}(f(p)) \circ D_f(p)= id_{\mathbb{R}^n} \end{eqnarray*}$
als auch
(ii) $\begin{eqnarray*} D_f(p) \circ D_{f^{-1}}(f(p))=id_{\mathbb{R}^n} \end{eqnarray*}$
ist.

Dann muss man einfach nur den Satz (siehe etwa Fischer)

Sei f eine Abbildung. f ist genau dann bijektiv, wenn es eine Abbildung g gibt, so dass
$\begin{eqnarray*} g \circ f = id \wedge f \circ g \end{eqnarray*}$ h ist. In diesem Fall ist $\begin{eqnarray*} g=f^{-1} \end{eqnarray*}$

auf die Funktion $\begin{eqnarray*} D_{f}(p) \end{eqnarray*}$ anwenden.

Ich bin mir sicher, dass wir das nicht nur "zur Not" (i) und (ii) gezeigt haben, sondern dass das für einen lückenlosen Beweis notwendig war (ich bin bei lückenlosen Beweisen etwas pedantisch)...sicherlich gibt es nämlich zum letztgenannten Satz Gegenbeispiele, falls z.B. nur $\begin{eqnarray*} g \circ f = id \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich danke dir aber trotzdem für deine Hilfe, Che.

16.07.2013, 18:41

Che Netzer

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RE: Ableitung eines Diffeomorphismus invertierbar

Zitat:

Original von Leser
sicherlich gibt es nämlich zum letztgenannten Satz Gegenbeispiele, falls z.B. nur $\begin{eqnarray*} g \circ f = id \end{eqnarray*}$ gilt.

Natürlich. Aber nicht, wenn man nur lineare Funktionen zwischen Räumen mit derselben (endlichen) Dimension betrachtet.

16.07.2013, 18:52

Leser

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RE: Ableitung eines Diffeomorphismus invertierbar
Ok gut, dann hätten wir uns den zweiten Teil sparen können....
Also vielen Dank nochmal für deine ganzen Anregungen und Hinweise!

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