Taylorreihe (Ungleichung mit Konstante C)

15.07.2013, 19:18

Martin19

RE: Taylorreihe (Ungleichung mit Konstante C)

So, hatte leider den Latexcode vergessen:

Zitat:

Original von Martin19
Sei sin: IR -> IR definiert. Ich soll nun das Taylorpolynom dieser Abbildung zum Entwicklungspunkt x0=0 approximieren. Also T_4(sin,0;x) bestimmen. Nun soll ich zeigen, dass es eine Konstante C element IR gibt, dass für alle x element [-2,2] folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} | sin(x) - T_{4}(sin,0;x) | \leq C| x|^{5} \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

Ich bestimme erst einmal $\begin{eqnarray*} | sin(x) - T_{4}(sin,0;x) | \end{eqnarray*}$ , was ja einfach nur das Restglied R_$(x) nach Lagrange 4. Ordnung der vorgegebenen Abbildung f(x)=sin(x) ist.

Wenn ich nun das Restglied eingesetzt habe, wie kann ich C bestimmen?

Edit Equester: Hab den ersten Post mal entfernt, damit das hier unbearbeitet aussieht smile

15.07.2013, 20:45

Dopap

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Es wäre hilfreich, wenn du das Restglied mal posten könntest.
Das gehört zum Thema : meine bisherigen Gedanken/Ergebnisse.

17.07.2013, 19:00

Christopf

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Hallo, nach dem man das Restglied berechnen tut, komm ich auf folgende Ungleichung (Ich hoffe sie ist exakt nach Aufgabenstellung korrekt?):

$\begin{eqnarray*} | \frac{cos(\xi)}{120}x^{5} | \leq C| x|^{5} \end{eqnarray*}$

17.07.2013, 19:21

Dopap

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hi Christopf: wenn du jetzt auch zu den Helfern gehörst, dann wäre es an der Zeit sich mal am board anzumelden. Alle tun sich dann leichter, von anderen Vorteilen ganz abgesehen... smile

17.07.2013, 19:41

Christopf

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Wenn $\begin{eqnarray*} | \frac{cos(\xi)}{120}x^{5} | \leq C| x|^{5} \end{eqnarray*}$ stimmen, sollte, wie könnte man nun C bestimmen? Das interessiert mich sehr.

17.07.2013, 22:53

Dopap

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man könnte nun mit $\begin{eqnarray*} \cos(xi)=1 \end{eqnarray*}$ abschätzen, aber das liefert nur $\begin{eqnarray*} C > \frac 1{120} \end{eqnarray*}$

Also uninteressant.

Mit $\begin{eqnarray*} C= 10^{50} \end{eqnarray*}$ wäre das Problem auch gelöst. Augenzwinkern

Also an irgendeiner Stelle muss noch das vorgegebene Intervall für x einfliessen. Die Frage ist nur ob das mit dem Restglied auch funktioniert ?

und da bin ich auch momentan ratlos ( sofern man eine nachvollziebare untere Grenze für C sucht)

numerisch lässt sich ein solches C im Intervall [-2,2] sicher für $\begin{eqnarray*} \sin(x)-x+\frac16 x^3 \end{eqnarray*}$ finden.

Weiter bin ich momentan auch nicht.

17.07.2013, 23:04

Christopf

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Naja, ich denke sicher man brauch das Restglied hier, da ja bereits /f(x)-t(x)/ vorgegeben ist, wobei nach Lagrange R(x)=f(x)-t(x) gilt. Aber ich muss zugeben, ich habe keine Ahnung in welche Richtung zu denken ist.

17.07.2013, 23:37

Dopap

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hier nochmal $\begin{eqnarray*} |\sin(x)-T_4(0,x)| \text{und} g(x)=|\frac 1 {120}x^5| \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, kann man anstatt 1/120 sicher eine etwas kleinere Konstante finden, sodass Grün unterhalb von Rot liegt (im Intervall)

Nur macht mir die Herleitung mittels Restglied Probleme. Du verstehst, was ich meine ?

---------------------------------------------
edit:
Sonst noch Meinungen? Das wäre mal wieder ein Fall für den grünen Punkt am Thread=Thread ist offen.

18.07.2013, 00:38

Che Netzer

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Keine Sorge, die Schranke ist optimal, denn immerhin ist auch die hier vorgenommene Abschätzung $\begin{eqnarray*} \lvert\cos\xi\rvert\leq1 \end{eqnarray*}$ optimal.

18.07.2013, 00:49

Dopap

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gut, warum ist nun die Schranke $\begin{eqnarray*} C=\frac 1 {120} \end{eqnarray*}$ optimal ? (im Intervall )

Könntest du das etwas näher erläutern ? Aber bitte nicht cryptisch.

Du betreibst ja im Allgemeinen das Frage Antwort-Spiel meiner Meinung nach etwas zu extensiv. Klar geht das mit den board-Regeln formal konform. Nur steht dort auch dass man Hilfe geben soll...
Und am Ende der Sackgasse muss man eben mal was bei die Fische geben...
Und damit meine ich nicht deine persönliche Meinung was das sein könnte, sondern genau das was für die Fragestellern wirklich verdaubar ist.

18.07.2013, 09:39

Che Netzer

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Es ist ja bekannt, dass der an der Stelle $\begin{eqnarray*} x\in[0,\varepsilon) \end{eqnarray*}$ gemachte Fehler bei der Approximation (betragsämßig) von der Form
$\begin{eqnarray*} \frac{\cos\xi}{120}x^5 \end{eqnarray*}$
für irgendein $\begin{eqnarray*} \xi\in[0,x] \end{eqnarray*}$ ist.
Nun könnt ihr $\begin{eqnarray*} \cos\xi \end{eqnarray*}$ nicht nur nach oben durch $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abschätzen, sondern auch nach unten durch $\begin{eqnarray*} \cos x \end{eqnarray*}$ .
Jedenfalls geht der Quotient von Fehler und $\begin{eqnarray*} x^5 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to0 \end{eqnarray*}$ gerade gegen $\begin{eqnarray*} \frac1{120} \end{eqnarray*}$ .

18.07.2013, 21:32

Christopf

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Ich versteh das leider nicht. Wie kann ich den das zeigen? Bis zum Restglied war es ja noch einfach, aber jetzt weiss ich nicht weiter.

18.07.2013, 22:52

Dopap

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ich glaube, da habe ich verkehrt herum geschaut: Schläfer

in der grafik ist ja $\begin{eqnarray*} |\frac 1 {120} x^5| \end{eqnarray*}$

immer grösser als $\begin{eqnarray*} |\sin(x)-T_4(0,x)| \end{eqnarray*}$

und genau so soll es ja auch sein Hammer

Und somit ist $\begin{eqnarray*} C=\frac 1{120} \end{eqnarray*}$ die optimal ( kleine ) Konstante. (siehe oben )

18.07.2013, 22:56

Christopf

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War es das bereits, also das C=1/120 ist?

Jetzt würde mich nur noch interessieren wie ich schriftlich auf diese Konstante komme, denn verstanden habe ich über die Abschätzung nicht alles.

18.07.2013, 23:13

Dopap

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Also, ich sehe es so, das Restglied lautet:

$\begin{eqnarray*} R_4(0,x)= \frac{cos(\xi)}{120}x^{5} \end{eqnarray*}$ und das schätze ich etwas "brutal" nach oben ab, indem ich $\begin{eqnarray*} \cos(\xi) \leq {\color{red}1} \end{eqnarray*}$ abschätze. -->

$\begin{eqnarray*} \bigg |\frac{cos(\xi)}{120}x^{5}\bigg | \leq \frac {{\color{red}1}} {120}|x^5| \end{eqnarray*}$

und fertig ist der Quark.

18.07.2013, 23:24

Christopf

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Ach so, scheint eine Art Majorante zu sein. Gut, das war jetzt machbar und ich habe es auch vollkommen verstanden. Was ist jedoch wenn hier nicht mit Trigometrischen Funktionen gearbeitet wird. Denn den sin und cos im Betrag abzuschätzen fällt mir gerade ein, ist eigentlich ziemlich einfach oder? So kenne ich das zumindest von Reihen und den Majoranten von Trigometrischen Reihen. Die Bewegen sich ja nur zwischen 0 und 1.

Wie würde man abschätzen wenn die vollständige Funktion aus einer sauberen Rationalen Polynomfunktion bestehe? Das ist jetzt etwas weit hergeholt, aber ich mach mir gerade sorgen, dass unser Übungsleiter andere Funktionen drannimmt bzgl. der Klausur die nicht aus Trig. Werten bestehen. Gibt es da eine Möglichkeit sauber abschätzen zu können nach einem Verfahren?

Ich hoffe das kommt alles verständlich rüber.

mfg

19.07.2013, 00:34

Dopap

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die Taylorentwicklung eines Polynoms ist wieder ein Polynom, eher nicht der richtige Fall. Prinzipiell aber auch möglich.

wenn wir z.B. die Wurzelfunktion quadratisch um $\begin{eqnarray*} x_0 =1 \end{eqnarray*}$ entwickeln, dann ist das Restglied

$\begin{eqnarray*} R_2(1,x)=\frac {3}{ 8 \cdot 6\cdot {\xi }^{2.5}}(x-1)^3 \end{eqnarray*}$ und jetzt kommt es auch auf das Intervall an.

Sei $\begin{eqnarray*} x\in [1.1,1.5] \end{eqnarray*}$ dann wird $\begin{eqnarray*} (x-1)^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0.5^3 \end{eqnarray*}$ nach

oben abgeschätzt und das $\begin{eqnarray*} \xi ^{2.5} \end{eqnarray*}$ nach unten (Nenner! ) mit $\begin{eqnarray*} {1}^{2.5} \end{eqnarray*}$ abgeschätzt.

Somit: $\begin{eqnarray*} \rm maxF=\frac { 3\cdot 0.5^3 }{24\cdot {1}^{2.5}} = 0.0156 \end{eqnarray*}$

So jedenfalls habe ich es verstanden.

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