Extrema

15.07.2013, 20:30

MatheFreak11111

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RE: Extrema

Edit opi: Den vorausgegangenen und verunglückten Beitrag habe ich entfernt.

Sorry ich meine:

Zitat:

Original von MatheFreak11111
Sei

$\begin{eqnarray*} f(x):=\frac{7x^{5}+9x^{4} }{1-x} \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} f'(x):=\frac{8x^{4}+36x^{3}-28x^{5} }{\left(1-x\right)^{2} } \end{eqnarray*}$ auf (-2,1/2) definiert.

Wobei x1/2/3=0 ein lokale/s minimum/a ist/sind. Und bei x5=-1 lokales Maximum ist.

Jetzt soll ich außerdem die Extrema im Definitionsbereich [-2,1/2] berechnen. Mir geht es erst einmal nur um den Randpunkt x=-2, da meine zichmalige Lösung nicht mit unserem Übungsleiters Lösung übereinstimmt.

Unser Übungsleiter hat als Lösung geschrieben, dass bei x=-2 ein globales Minimum und ein lokales Minum existiert (Nach unserer Definition ist jeder Globale Punkt auch ein Lokaler).

Mein Problem:

Wenn ich f ' (-2) berechne komm ich auf f ' (-2)=-(6192/27)+(1632/27)-(160/27). Und das ist kleiner als 0, und deshalb ist nach Definition bei -2 ein lokaes Maximum und nicht Minimum.

Wo steckt mein Fehler?

15.07.2013, 20:54

kgV

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Ich kann nicht nachvollziehen, wie du auf deine Zahlen kommst...

Mein Ergebnis für f'(-2) ist $\begin{eqnarray*} \frac{736}{9} \end{eqnarray*}$ , was ein normales Minimum andeutet
Zeig mal deine Rechnung her...

lg
kgV
Wink

Wink

15.07.2013, 20:55

Gast11022013

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Bei mir ist $\begin{eqnarray*} f '(-2)=81,\overline{7} \end{eqnarray*}$

Und dies ist größer als Null.

Ich verstehe auch nicht wie du auf deine komischen Zahlen kommst.

$\begin{eqnarray*} f '(-2)=\frac{8\cdot (-2)^4+36\cdot (-2)^3-28\cdot (-2)^5}{(1-(-2))^2} \end{eqnarray*}$

Sieht für mich irgendwie so aus als hättest du mit (1-(-2))^3 gerechnet. Andernfalls kann ich mir nicht die 27 im Nenner deiner Brüche erklären (die ich mir auch so nicht erklären könnte). Dann scheinst du wohl anstatt -6192 eine 6912 zu meinen auf die du kommst in dem du

$\begin{eqnarray*} 8\cdot (-2)^4=128 \end{eqnarray*}$

mit 54 multiplizierst. verwirrt

verwirrt

In jedem Fall gehört das Vorzeichen dort weg.

Also so ganz genau weiß ich dann doch nicht was und wie du in die erste Ableitung eingesetzt hast.

Edit: Bin weg.

15.07.2013, 20:58

Dopap

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Also gut: das ist ein absolutes Minimum. Aufgrund eurer Definition auch ein lokales Minimum, aber nicht deshalb, weil f'(-2) = 0 und f''(-2)>0 ist, sondern Aufgrund der
Tatsache, dass alle Funktionswerte in einer Umgebung von x=-2 grösser als f(-2) sind.

----------------------------

@kgv: wenn f'(-2)\neq 0 ist, warum sollte daran Min / Max erkennen?

15.07.2013, 21:02

MatheFreak11111

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Sry, ich meinte f '' (-2)=-(6192/27)+(1632/27)-(160/27) und nicht f'(-2).

Das müsste doch dann nach Definition ein lok. Maximum sein, also müsste in dieser Rechnung ein Fehler sein, wobei ich 3-4 immer auf dasselbe Ergebnis komme.

15.07.2013, 21:05

Dopap

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meine obige post erklärt es: ein lokales Min/Max muss nicht "rund" sein, es könnte auch "spitz" sein. Ein normaler Funktionswert am Definitionsrand ist eben "spitz"

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15.07.2013, 21:09

MatheFreak11111

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So, diese Ableitung war bereits vorgegeben:

$\begin{eqnarray*} f^{(2)}(x)=\frac{140x^{3}+108x^{2} }{1-x} +2\frac{35x^{4}+36x^{3}}{\left(1-x\right)^{2} } +2\frac{7x^{5}+9x^{4}}{\left(1-x\right)^{3} } \end{eqnarray*}$

Und wenn ich -2 einsetze, komm ich auf einen negativen Wert.

@Dopap. Heißt das jetzt, das nach der Def. mit der nten geraden Ableitung ich hier eine falsche Aussage bekomme? Also dass f^(gerade Ableitung)(xo) > 0 ein Lok. minima ist und analog Maxima.

15.07.2013, 21:10

kgV

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@ Dopap:
Wenn wir den linken Intervallrand haben und die Steigung in diesem Punkt positiv ist, dann muss der Punkt rechts davon zwingend höher liegen, was ein (lokales) Minimum in meinen Augen impliziert. Natürlich ist damit nicht die gesamte Seite rechts davon abgesichert, da müsste man mit einer Ungleichung ran

edit: ich überlasse dir das Feld, Dopap. Zu viele Köche verderben bekanntlich den Brei Wink

Wink

15.07.2013, 21:28

Dopap

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Zitat:

Original von kgV

Mein Ergebnis für f'(-2) ist $\begin{eqnarray*} \frac{736}{9} \end{eqnarray*}$ , was ein normales Minimum andeutet
Zeig mal deine Rechnung her...

das hat mich stutzig gemacht: normales Minimum ?

---------------------------------------------------

Ja, tut mir leid, tatsächlich ist

$\begin{eqnarray*} f'(-2)=\frac {736}{9} \end{eqnarray*}$ in Übereinstimmung mit "KGV".

also positiv. Demnach erübrigt jede weitere Ableitung.

Du hast es noch nicht verstanden: $\begin{eqnarray*} f'(x_9)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''(x_9) \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist hinreichend für eine Extremstelle, aber nicht notwendig.

15.07.2013, 21:33

Mathefreak1111

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Wow, das heißt dann wenn die erste Ableitung am Extrempunkt ungleich 0 ist, macht jede weitere Ableitung gar kein Sinn bzgl. dem Extrempunkt der jeweiligen Stelle xo ? Das heißt dann, die einzige Möglichkeit hier zu argumentieren ist mit Umgebungen?

Also kurz: Auf die klassische Art und Weise 1. Ableitung gleich 0 setzen dann in die nte gerade Ableitung einsetzen und schauen ob es größer bzw. kleiner als = ist macht kein Sinn, da die Bedindgung f'(xo)=0 nicht erfüllt ist.

15.07.2013, 21:45

Dopap

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Zitat:

Original von Mathefreak1111
Wow, das heißt dann wenn die erste Ableitung am Extrempunkt ungleich 0 ist, macht jede weitere Ableitung gar kein Sinn bzgl. dem Extrempunkt der jeweiligen Stelle xo ? Das heißt dann, die einzige Möglichkeit hier zu argumentieren ist mit Umgebungen?

so ist es !

Zitat:

Also kurz: Auf die klassische Art und Weise 1. Ableitung gleich 0 setzen dann in die nte gerade Ableitung einsetzen und schauen ob es größer bzw. kleiner als = ist macht kein Sinn, da die Bedindgung f'(xo)=0 nicht erfüllt ist.

so ist es !

Folgerung: Definitionsgrenzen müssen extra behandelt werden.

15.07.2013, 21:49

Mathefreak1111

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Ich habe da eine sehr wichtige Frage:

Ist das bzgl den Randpunkten fast immer so das hier mit Umgebungen argumentiert werden muss? Aber ich denke ich hab es verstanden und vermute, das es immer so ist!, sofern der Randpunkt nicht mit einem ,,normalen" Extrema der Funktion übereinstimmt.

15.07.2013, 22:03

Dopap

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so würde ich es auch sehen. Freude

Freude

Auch wenn die Grenze zufällig eine normale Extremstelle ist, gilt die Argumentation mit der Umgebung.

Nur könnte man noch feingeistig fragen ob dort überhaupt eine Ableitung existiert.(?)
Zumindest existiert dort eine einseitige Ableitung...
für solche Überlegungen ist das jetzt aber wohl nicht der passende Platz.

15.07.2013, 22:05

Mathefreak1111

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Meine Frage:

Wieso gibt es eine Umgebung am Randpunkt? Oder eher einseitige Umgebung ?

15.07.2013, 22:16

Dopap

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ja sicher richtig: eine einseitige Umgebung ist auch eine Umgebung.

15.07.2013, 22:22

Mathefreak1111

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Danke, dann würde mich nur noch interessieren wie ich Randpunkte untersuchen sollte damit ich am besten schnell sagen kann, welcher Randpkt den nun ein max oder min ist. Alles ohne GTR und Skizze.

15.07.2013, 22:47

Dopap

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ja, da verlangst aber viel!

normalerweise bestimmt man zuerst die "echten" relativen Extrema.

Und bestimmt dann die Randwerte. Und dann beginnt man zu vergleichen...

15.07.2013, 22:54

Mathefreak1111

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Mit Bestimmen der Randwerte meinst du wohl die Randwerte in die Ausgangsfunktion zu setzen und zu schauen wie sie im Vergleich zu den relativen Extrema liegen.

Aber wie kann ich hierdraus etwas entnehmen?

15.07.2013, 23:25

Dopap

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ja, das ist doch einfach:

1,) Ist ein Randwert grösser als alle echten relativen Extrema und auch grösser als der andere Randwert,
dann ist es ein absolutes Maxima.
Dasselbe anderstherum.

2.) wenn nicht, dann ist ein echtes relatives Extremum ein absolutes Extremum.

15.07.2013, 23:34

Mathefreak1111

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Ich kenn leider nur glob. max. und lok. maxima. Analog bzgl Minima.

Kannst du das bitte in diesem Sprachgebrauch erklären? Das wäre wirklich super.

15.07.2013, 23:49

Dopap

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absolut=global

in diesem Zusammenhang!

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