Lineare Abhängigkeit

16.07.2013, 13:38

Schiel92

Lineare Abhängigkeit

Guten Tag.

Angenommen ich habe 3 Vektoren: a = (1,2,-3), b= (-2,-4,6) und c = (1,1,1)
a und b sind derselbe Vektor nur mit einem anderen Skalar multipliziert, also linear abhängig, oder?
Jedoch gibt es keinen Weg den Vektor c durch die beiden darzustellen.
Sind nun alle 3 Vektoren linear abhängig oder sagt man, dass nur a und b linear abhängig sind und c nicht?

Danke smile

16.07.2013, 15:01

Nubler

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unabhängig heisst, KEIN vektor lässt sich als linearkombination der anderen darstellen.
damit sind deine abhängig

17.07.2013, 12:41

Schiel92

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Das heißt ich könnte jetzt noch unendlich viele Vektoren dazu nehmen und nur weil zwei von denen linear abhängig sind, sagt man dennoch das alle abhängig sind?

Zweite Frage:

Wie kann ich denn möglichst schnell von 4 Vektoren den herausfinden, der sich nicht durch Linearkombination der anderen darstellen lässt?

Also gibt es einen schnelleren Weg, als sich immer zwei rauszupicken und diese beiden dann zu vergleichen?

Vielen Dank Nubler smile

17.07.2013, 14:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von Schiel92
Das heißt ich könnte jetzt noch unendlich viele Vektoren dazu nehmen und nur weil zwei von denen linear abhängig sind, sagt man dennoch das alle abhängig sind?

Ja.

Zitat:

Original von Schiel92
Wie kann ich denn möglichst schnell von 4 Vektoren den herausfinden, der sich nicht durch Linearkombination der anderen darstellen lässt?

Schreibe die Vektoren zeilenweise in eine Matrix und bringe sie auf Zeilenstufenform. Die Vektoren, wo in der entsprechenden Zeile eine Nullzeile entsteht, lassen sich durch die anderen darstellen.

18.07.2013, 01:29

frank09

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Zitat:

Original von klarsoweit
Schreibe die Vektoren zeilenweise in eine Matrix und bringe sie auf Zeilenstufenform. Die Vektoren, wo in der entsprechenden Zeile eine Nullzeile entsteht, lassen sich durch die anderen darstellen.

Das stimmt leider nicht immer. Wenn ich das Gaußverfahren nach dem "üblichen Schema" durchführe, kombiniere ich zuerst die 1. Zeile mit allen unteren, um deren ersten Eintrag auf Null zu setzen. Dann die 2. Zeile mit 3.,4.,etc., um deren zweiten Eintrag auf Null zu setzen, usw.
Nullzeilen entstehen dann nur, wenn sich ein Zeilenvektor durch die Zeilen oberhalb von ihnen darstellen lässt.

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Offensichtlich lässt sich der mittlere Zeilenvektor als Summe von erstem und drittem darstellen.

Gaußumformung:

Für die Stufenform ersetzt man die 2. Zeile durch (I-II)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann noch 3. Zeile durch (II+III) ersetzen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier ist nicht ersichtlich, dass sich der mittlere durch die beiden anderen darstellen lässt.

Hätte ich folgende Ausgangsmatrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

käme ich durch Gaußumformung auf dieselbe Stufenform, wobei sich hier der mittlere Vektor nicht durch die anderen beiden darstellen lässt.

18.07.2013, 10:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von frank09
Das stimmt leider nicht immer. Wenn ich das Gaußverfahren nach dem "üblichen Schema" durchführe, kombiniere ich zuerst die 1. Zeile mit allen unteren, um deren ersten Eintrag auf Null zu setzen. Dann die 2. Zeile mit 3.,4.,etc., um deren zweiten Eintrag auf Null zu setzen, usw.
Nullzeilen entstehen dann nur, wenn sich ein Zeilenvektor durch die Zeilen oberhalb von ihnen darstellen lässt.

Nun ja, so ganz stimmt das nicht. Wenn du in der ersten Zeile eine "0 0 1" stehen hast, mußt du beim Gauß-Verfahren auch Zeilenvertauschungen (mit entprechender Vertauschung der Reihenfolge der zugehörigen Vektoren) vornehmen.

Zitat:

Original von frank09
Hier ist nicht ersichtlich, dass sich der mittlere durch die beiden anderen darstellen lässt.

Ich habe auch nicht behauptet, daß man bei jedem Vektor erkennen kann, ob der sich durch die anderen darstellen läßt. In jedem Fall kann man erkennen, daß die Vektoren, die den Nullzeilen entsprechen, sich durch die anderen darstellen lassen.

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