links/rechtsseitiger Grenzwert

16.07.2013, 16:19

lalelilolu1345

links/rechtsseitiger Grenzwert

Meine Frage:
ich soll für eine Funktion, den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert berechnen:
$\begin{eqnarray*} f(x) := \frac{x^{3} -10x+12}{(x-2)} \end{eqnarray*}$ für x<2
$\begin{eqnarray*} x^{3} +3x +1 \end{eqnarray*}$ für x >= 2

für den linksseitigen Grenzwert hab ich allerdings keine Idee wie man das ausrechnen soll, da man 2 selber nicht eingeben kann.
In der Lösung wurde die gleichung vereinfacht:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} x^2 + 2x - 6 \end{eqnarray*}$
das kann ich allerdings nicht nachvollziehen.

Meine Ideen:
den rechtsseitigen Grenzwert kann man einfach durchs einsetzen von 2 ausrechnen:
2³ + 3*2 +1 = 15

16.07.2013, 16:32

Helferlein

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Führe mit dem Zähler eine Polynomdivision durch x-2 durch.

16.07.2013, 20:00

lll0000

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kannst du vllt noch erklären warum?

16.07.2013, 20:11

Helferlein

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Damit Du 2 einsetzen kannst.

16.07.2013, 22:17

m4themag1er

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RE: links/rechtsseitiger Grenzwert

Zitat:

Original von lalelilolu1345
Meine Frage:
ich soll für eine Funktion, den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert berechnen:
$\begin{eqnarray*} f(x) := \frac{x^{3} -10x+12}{(x-2)} \end{eqnarray*}$ für x<2
$\begin{eqnarray*} x^{3} +3x +1 \end{eqnarray*}$ für x >= 2

für den linksseitigen Grenzwert hab ich allerdings keine Idee wie man das ausrechnen soll, da man 2 selber nicht eingeben kann.
In der Lösung wurde die gleichung vereinfacht:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} x^2 + 2x - 6 \end{eqnarray*}$
das kann ich allerdings nicht nachvollziehen.

Meine Ideen:
den rechtsseitigen Grenzwert kann man einfach durchs einsetzen von 2 ausrechnen:
2³ + 3*2 +1 = 15

Ich versuche es mal genauer zu erklären.

Da wir den linksseiten Grenzwert betrachten, ist uns nur wichtig, was die Funktion links von dem Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 = 2 \end{eqnarray*}$ macht. Damit wären wir beim obigen Teil der Fallunterscheidung, also

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{3} -10x+12}{(x-2)} \end{eqnarray*}$

Wir stellen fest, dass $\begin{eqnarray*} x^{3} -10x+12 = (x-2)(x^2+2x-6) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt betrachte eine Folge von $\begin{eqnarray*} x_n \to 2 \end{eqnarray*}$ , wobei die Folge von inks von $\begin{eqnarray*} x_0 = 2 \end{eqnarray*}$ kommen soll, also $\begin{eqnarray*} x_n < 2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Der linkswertige Grenzwert von $\begin{eqnarray*} (x^2+2x-6) \end{eqnarray*}$ ist aber offensichtlich, was man leicht berechnen kann.

Das mag anfangs vielleicht überraschen, denkt man doch, dass der Nenner $\begin{eqnarray*} (x-2) \end{eqnarray*}$ dazu führt, dass der Quotient in die Luft geht. Aber in dem Fall kann der Pol eben gekürzt werden.

Beachte, dass die Kürzung hier nicht à la Schule ist, wie im folgenden Falschbeispiel.

Falschbeispiel 1 (Kürzung von Polen).
Gegeben $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \backslash \{2\} \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} x \mapsto f(x) = \frac{x^2-4}{(x-2)} \end{eqnarray*}$ .

Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} x^2-4 = (x-2)(x+2) \end{eqnarray*}$ . Jetzt können wir die $\begin{eqnarray*} (x-2) \end{eqnarray*}$ in Zähler und Nenner kürzen und haben $\begin{eqnarray*} f(x) = x+2 \end{eqnarray*}$ . Auf magische Art und Weise können wir also doch $\begin{eqnarray*} f(2) = 4 \end{eqnarray*}$ berechnen.

Das Beispiel ist natürlich falsch. Die Funktion war von anfang an nicht in $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ definiert. Der Fehler ist, dass man sich hier in algebraischen Ausdrücken verloren hat, ohne die Definition der Funktion zu beachten.

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