Totale Differenzierbarkeit

16.07.2013, 16:41

Rafael91

Totale Differenzierbarkeit

Hallo.
Ist folgende Funktion total diffbar?
$\begin{eqnarray*} x-8y-x^2+xy-y^2 \end{eqnarray*}$
Es muss ja die Jacobi Matrix existieren und der Rest R muss bei $\begin{eqnarray*} f=(x+psi,y+teta) = f(x,y) + Jacobi + R(teta,psi) \end{eqnarray*}$ gegen 0 gehen.

Wenn ich das ausrechne erhalte ich als Rest: -psi^2 + psi*teta - teta^2.

Wenn ich nun aber psi gegen null gehen lasse fällt der Rest nicht weg. Oder verstehe ich diese Regel falsch?

Ich weiß nicht ob diese Funktion total diffbar ist. Wenn ich das richtig gerechnet habe und ich dieses teta psi Kriterium richtig benutzt habe, dann ist diese Funktion nicht total diffbar.

16.07.2013, 18:35

Che Netzer

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RE: Totale Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Rafael91
Wenn ich nun aber psi gegen null gehen lasse fällt der Rest nicht weg.

Du sollst ja nicht nur Psi gegen Null gehen lassen, sondern auch Theta.
Und $\begin{eqnarray*} R(\theta,\psi)\to0 \end{eqnarray*}$ genügt noch nicht.

Du solltest dir die Definition der Differenzierbarkeit nochmals ansehen.

17.07.2013, 00:18

Rafael91

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Wieso genügt das nicht? Die ersten Ableitungen existieren ja (siehe Jacobi) und dieser Rest geht gegen Null. Somit ist die Funktion total diffbar. Genauer $\begin{eqnarray*} \frac{R(\theta,\psi)}{||R||} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ . Meinst du das?

17.07.2013, 10:25

Che Netzer

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Was ist denn $\begin{eqnarray*} \lVert R\rVert \end{eqnarray*}$ ? Wie genau lautet die Bedingung an den "Restterm" aus der Definition der Differenzierbarkeit?

17.07.2013, 21:12

Rafael91

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$\begin{eqnarray*} \lVert R\rVert \end{eqnarray*}$ ist der Betrag von R. Was denn sonst? Wir sind hier ja im mehrdimensionalen Raum. Ich hab schon alles gesagt. R geht für psi gegen 0 auch gegen 0.

17.07.2013, 21:22

Che Netzer

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Zitat:

Original von Rafael91
$\begin{eqnarray*} \lVert R\rVert \end{eqnarray*}$ ist der Betrag von R.

Die Norm meinst du?
Dann ist aber $\begin{eqnarray*} \frac{R(\theta,\psi)}{\lVert R\rVert} \end{eqnarray*}$ ein Einheitsvektor und kann nicht (in der Norm) gegen Null gehen.

Zitat:

R geht für psi gegen 0 auch gegen 0.

Nein, dazu muss auch $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ gegen Null gehen.

Die Bedingung, dass

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{R(\theta,\psi)}{||R||} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

gelte, war schon am nähesten an der richtigen Definition. Anscheinend hast du die aber immer noch nicht nachgeschlagen.

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