Verständnisfrage: Kontraktion

16.07.2013, 17:37

Tha

Verständnisfrage: Kontraktion

Guten Abend!

In meinem Analysis II Tutorium, formulierte der Tutor folgendes:

Sei $\begin{eqnarray*} f: M \rightarrow M \end{eqnarray*}$ eine Selbstabbildung und M ein reelles Intervall. Dann ist $\begin{eqnarray*} |f'(x)|<1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ hinreichende Bedingung dafür, dass f eine Kontraktion ist.

Meine Frage:
Ist diese Aussage korrekt? Wenn M kompakt ist, folgt die Aussage aus dem Mittelwertsatz und dem Satz vom Max- und Minimum. Dies ist mir klar.
Aber warum sollte es für jedes beliebige reelle Intervall M gelten?

Liebe Grüße

16.07.2013, 18:27

Che Netzer

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RE: Verständnisfrage: Kontraktion

Zitat:

Original von Tha
Ist diese Aussage korrekt?

Nein. Betrachte z.B. den Sinus auf $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ .
Die Ableitung müsste schon durch eine Konstante kleiner Eins beschränkt sein.

16.07.2013, 18:40

Tha

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RE: Verständnisfrage: Kontraktion
Hallo Che und danke für deine Antwort.

Ich verstehe deine Aussage noch nicht so ganz.
Die Ableitung vom Sinus ist der Kosinus und dieser erfüllt ja unsere Voraussetzung $\begin{eqnarray*} |cos(x)|<1 \end{eqnarray*}$ garnicht. Dies dürfte doch somit kein Gegenbeispiel zu der Formulierung sein.

Mir persönlich geht es um die Frage, ob M auch ein offenes Intervall sein darf, oder ob die Aussage nur für kompakte Mengen M funktioniert.

16.07.2013, 18:45

Che Netzer

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RE: Verständnisfrage: Kontraktion
verwirrt

Wo bitteschön nimmt der Cosinus auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ den [betragsämßig] Wert Eins an?

16.07.2013, 22:29

m4themag1er

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RE: Verständnisfrage: Kontraktion

Zitat:

Original von Che Netzer
verwirrt

Wo bitteschön nimmt der Cosinus auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ den [betragsämßig] Wert Eins an?

Hallo Che, ich glaube du hast hier einen Fehler. Hast du bei deinem Argument, dass Sinus keine Kontraktion sein soll vielleicht vergessen, dass du dich auf das Intervall (0,1) eingeschränkt hast?

Ich glaube nämlich die Aussage stimmt. Es gillt nämlich der Hauptsatz der Differentialgleichung, welcher in dem Fall dass wir reelle Intervalle betrachten wie folgt lautet:

$\begin{eqnarray*} |f(b)-f(a)| \le \sup_{x \in \mathbb M} |f'(x)| \cdot |b-a| \end{eqnarray*}$

16.07.2013, 22:36

Che Netzer

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RE: Verständnisfrage: Kontraktion
Die Ungleichung stimmt zwar (wenn $\begin{eqnarray*} a,b\in M=(0,1) \end{eqnarray*}$ ), aber dieses Supremum ist hier Eins.

(und ich glaube, du meinst eher den Mittelwertsatz)

16.07.2013, 22:39

m4themag1er

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RE: Verständnisfrage: Kontraktion
Schnelle Gegenfrage. Du hattest ja mit dem Sinus ein Gegenbeispiel formulieren wollen. Ist die Abbildung

$\begin{eqnarray*} sin : (0,1) \to (0,1) \end{eqnarray*}$

denn keine Kontraktion?

16.07.2013, 22:42

Che Netzer

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RE: Verständnisfrage: Kontraktion
Nein, es ist keine.

16.07.2013, 22:42

m4themag1er

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RE: Verständnisfrage: Kontraktion
Okay, ich habe nochmal die Aussage durchgelesen und verstehe jetzt glaube ich, was das Problem ist. Der Tutor hat nämlich die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |f'(x)|<1 \end{eqnarray*}$ schlampig aufgeschrieben. Es muss nicht nur beschränkt sein, sondern gleichmäßig beschränkt durch eine gleichmäßige Konstante. Ich glaube das war der Punkt.

16.07.2013, 22:46

m4themag1er

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RE: Verständnisfrage: Kontraktion
Wir hatten wohl verschiedene Definitionen von Kontraktionen im Kopf. Für meine Begriffe ist nämlich eine Selbstabbildung eine Kontraktion, wenn es einfach eine Konstante q gibt (gleichmäßig), sodass

$\begin{eqnarray*} || f(x)-f(y) || \le q \|x-y\|. \end{eqnarray*}$

Für euch war in der Definition von Kontraktion wohl schon implizit vorgegeben, dass die gleichmäßige Konstante strikt kleiner 1 sein soll. Also erst dann heißt bei euch eine Abbildung Kontraktion.

16.07.2013, 22:58

Che Netzer

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RE: Verständnisfrage: Kontraktion
Wenn dein $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt werden darf, gelangst du zur Definition der Lipschitz-Stetigkeit. Eine Kontraktion erhältst du für $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ . Das sollte auch der allgemeinen Konvention entsprechen.

Nicht zu erwähnen, dass $\begin{eqnarray*} \lvert f'(x)\rvert\leq q<1 \end{eqnarray*}$ , geht aber über schlampiges Aufschreiben schon deutlich hinaus.

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