Integration durch Substitution - Aufgabe

Neue Frage »

16.07.2013, 19:25	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration durch Substitution - Aufgabe $\begin{eqnarray} F = \int \frac{dx}{x \cdot \sqrt{x+1}} \end{eqnarray}$ Ich erkenne da zwar sofort arcsin, aber das x stört, ich substituiere mal $\begin{eqnarray} z =\sqrt{x+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dz}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F = 2\int \frac{z \cdot dz}{x \cdot z} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F = 2\int \frac{dz}{x} \end{eqnarray}$ Irgendwas mache ich falsch... wie muss ich stattdessen ansetzen resp. wie mach ich weiter?
16.07.2013, 19:30	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast immer noch ein x, das Du nicht durch z ersetzt hast. Substituieren heisst (komplett) ersetzen!
16.07.2013, 19:32	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war ja mein Problem, soll ich: $\begin{eqnarray} z = x \cdot \sqrt{x+1} \end{eqnarray}$ substituieren?
16.07.2013, 19:34	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du sollst x durch z ersetzten. Wenn $\begin{eqnarray} z=\sqrt{x+1} \end{eqnarray}$ , dann ist x=?
16.07.2013, 19:39	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach soooo. Hab dich falsch verstanden, entschuldige! Dann ist: $\begin{eqnarray} z = \sqrt{x+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z^2 = \|x+1\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = z^2 - 1 \end{eqnarray}$ Somit: $\begin{eqnarray} F = 2 \ \int \frac{dz}{ z^2 - 1} \end{eqnarray}$ Aber das ist doch jetzt kein Grundintegral oder muss ich hier noch weiter dran rumbasteln resp. substituieren?
16.07.2013, 19:40	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung? Beachte aber, dass Du beim Übergang vom Betrag zu $\begin{eqnarray} x=z^2-1 \end{eqnarray}$ nur $\begin{eqnarray} x>-1 \end{eqnarray}$ zulässt.
Anzeige

16.07.2013, 19:43	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich die Betragsstriche wieder hintun? $\begin{eqnarray} \rightarrow \end{eqnarray}$ Partialbruchzerlegung hab ich noch nicht drauf; ist eine Aufgabe zur Substitution.
16.07.2013, 20:09	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann schau in eine Formelsammlung.
16.07.2013, 20:42	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde kein Grundintegral dafür, das was am nächsten passt wäre: $\begin{eqnarray} \int \frac{dx}{a^2 - x^2} \end{eqnarray}$ Aber bei mir ist ja x (also z) positiv und a negativ. Edit: Wahrscheinlich muss ich hier doppelt substituieren...
16.07.2013, 21:00	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann multipliziere deine gefundene Funktion mit -1 Sorry das ich grad etwas kürzer antworte, bin inzwischen am Smartphone online.
16.07.2013, 21:06	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist schon okay! Bin dir dankbar, dass du mir überhaupt hilfst! Vorschlag: $\begin{eqnarray} F = (-2) \cdot (- \int \frac{dz}{z^2-1}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F = (-2) \cdot \int \frac{dz}{1-z^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F = - \ ln \ \frac{1+z}{1-z} + C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F = - \ ln \ \frac{1+\sqrt{x+1}}{1-\sqrt{x+1}} + C \end{eqnarray}$ So?
16.07.2013, 21:24	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip ja, das Minus vor dem ln lässt sich aber noch reinziehen.
16.07.2013, 22:08	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay: $\begin{eqnarray} F = ln \left( \frac{1+\sqrt{x+1}}{-1+\sqrt{x+1}} \right) + C \end{eqnarray}$ Bist du nun zufrieden? ^^
16.07.2013, 22:16	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ehrlich gesagt nein. Es ist doch nicht -ln (x)=ln (-x)
16.07.2013, 22:37	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja mein Hirn macht langsam nicht mehr mit (hab noch parallel andere Aufgaben am Laufen), verrats mir bitte was du mit "Minus in den Logarithmus ziehen" meintest. Ich leg gleich eine Pause ein.
16.07.2013, 22:41	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt $\begin{eqnarray} -ln(x)=ln(\frac 1x) \end{eqnarray}$ , also kannst Du das Minus vor dem ln weglassen und bildest stattdessen innerhalb des ln einfach den Kehrwert.
16.07.2013, 22:47	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, durch Vorzeichenwechsel vertauscht sich ja Zähler und Nenner. Okay ich lass mein Ergebnis jetzt aber so. Danke für deine Hilfe!

Neue Frage »

Antworten »

Integration durch Substitution - Aufgabe

Verwandte Themen