Taylorreihe

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Christopf Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, es soll heißen:

Meine Aufgabe:

Wir wollen ln(1,003) berechnen mit einem sehr kleinen Fehler. Wir wissen das (ln(x))'=1/x auf (0,oo) ist und ln(1)=0 gilt.

1. Sei f: (-1,oo) -> IR durch f(x):=ln(1+x) definiert. Zeige, für x>0



2. Berechne ln(1,003) und gebe eine Schranke des Fehlers an.

Meine Ideen:

Zu Aufgabe 1) Erst einmal ein paar Ableitungen gebildet. Nach dem ich dann das Taylorpolynom entwickelt habe von f(x), fällt auf, das ich mithilfe der zweiten Ordnung des Taylorpolynoms von f(x) auf folgende Polynomfunktion komme: mit Entwicklungspunkt x0=0. Das heißt das ich nach Lagrange das Restglied zweter Ordnung dieser Funktion nur zu bestimmen brauch. Es folgt für die Lösung:



Ist das richtig? Mich würde außerdem interessieren ob es hier ein Indiz dafür gibt, dass ich tatsächlich das Taylorpolynom 2. Ordnung zu bestimmen brauch. Wahrscheinlich erkennt man das auch bereits daran, da am Anfang ja /f(x)-T(x)/ gegeben ist, wobai T/x) Polynom Grad 2 besitzt.

Aufgabe 2) Hier weiss ich leider gar nicht was zu tun ist.


edit von sulo: Den ersten Beitrag dieses Threads habe ich entfernt, da hier die Formeln korrigiert wurden.
Wie wäre es, wenn du dich anmelden würdest? Als Boardmitglied kannst du deine Beiträge editieren. Augenzwinkern
Weiterhin solltest du unbedingt die Vorschau-Funktion benutzen, bevor du einen Beitrag abschickst.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Christopf
1. Sei f: (-1,oo) -> IR durch f(x):=ln(1+x) definiert. Zeige, für x>0


Zu dumm, dass das falsch ist: Z.B. ist



d.h. für gilt die Ungleichung schon mal nicht.


Allem Anschein nach hast du dich verschrieben, und meinst tatsächlich

.
Christopf Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist alles korrekt wie ich es aufgeschrieben habe bzgl. der Aufgabenstellung...
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

also, dein Taylorpolynom lautet:



und dann passt auch das, was Hal 9000 geschrieben hat.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Christopf
Es ist alles korrekt wie ich es aufgeschrieben habe bzgl. der Aufgabenstellung...

Es ist ziemlich starrsinnig, das aufgezeigte Gegenbeispiel einfach so wegzuwischen. unglücklich

Deswegen bin ich hier auch weg, hast ja mit Dopap einen guten (und nachsichtigeren) Helfer.
Christopf Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
also, dein Taylorpolynom lautet:



und dann passt auch das, was Hal 9000 geschrieben hat.


Wie kommst du den auf dieses Taylorpolynom? Bei mir ist alles stets positiv. Eventuell hat der Übungsleiter das Relationszeichen nur falsch aufgeschrieben, denn wenn ich f(x) - t(x) setzekomm ich genau auf denselben Term wie die von der Aufgabenstellung, was ja auch zugleich das Restglied nach Lagrange ist.

@HAL 9000

Ich meinte damit, dass die Aufgabenstellung, die mir gestellt wurden ist, so entspricht wie diese die ich genannt hatte. Das aufgezeigte Gegenbeispiel stimmt selbstverständlich.
 
 
Christopf Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht, da habe ich doch tatsächlich das negative Vorzeichen der 2. Abelitung vergessen.
Christopf Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein das unser Übungsleiter eine Klammer hier vergessen hat bei der Aufgabenstellung?^^

Zitat:
[i]

Wir wollen ln(1,003) berechnen mit einem sehr kleinen Fehler. Wir wissen das (ln(x))'=1/x auf (0,oo) ist und ln(1)=0 gilt.

1. Sei f: (-1,oo) -> IR durch f(x):=ln(1+x) definiert. Zeige, für x>0



Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe 2.) ist ja eigentlich die Einfachere.


Hier ist konkret mit x=0.003 der Wert von samt Fehler zu bestimmen.

Demnach

für ein zwischen 0 und 0.003.

Da wir nicht kennen, wird das so gewählt, dass das Restglied möglichst gross wird und somit zum maximalen Fehler mutiert.

zum letzten post : ------------------------------------------
mein stimmt. Vielleicht rechnest du nochmals nach.

und bei solltest du letzteres in Klammern setzen:
Christopf Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ist eigentlich Teilaufgabe 1 richtig? Ich komm auf folgendes Ergebnis:


Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

besser: (*)

ist richtig, nur kann das Punktabzug bringen. Es fehlt noch:

für damit gilt:



q.e.d.

---------------------------------------------------------------
(*) genau genommen gilt sogar das < Zeichen, da x>0 gilt.
Christopf Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das xi immer bei solchen Aufgaben kleiner als x?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

im Restglied steht: für ein zwischen und

bei z.B. mit wäre
Christopf Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
besser: (*)

ist richtig, nur kann das Punktabzug bringen. Es fehlt noch:

für damit gilt:



Ich meinte woher ich weiss, das hier 0<xi<x gilt. Und ob das bei allen Allgemeinen Restgliedern so gilt.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

du musst zu jeder Aufgabe auch das Kleingedruckte lesen:

1.)
2.)

und wenn nun allgemein zwischen x und liegt, dann lässt sich schlüssig folgern, dass

gilt. Jetzt klar?
Christopf Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich muss noch einmal pushen.^^

Also, damit ich den Fehler annähern kann ohne GTR ist es sinnvoll eine approximation durch den Satz von Taylor zu machen. Nun gut. Jetzt haben wir f(x) exakt bestimmt als Taylorpolynom mithilfe f(x)=t__2(x)+R_2(x). Es folgt:



Wieso wird nur 0,003 eingesetzt anstatt 1,003 ? Und was heißt ich soll das xi wählen, sodass 0<xi<0,003? Ich kann doch jetzt nicht einfach ein Wert einfach einsetzen für xi ?
Christopf Auf diesen Beitrag antworten »

/push

Mir fehlt leider immer noch der letzte Aufgabenteil, welche ich noch nicht verstanden habe. Wäre klasse wenn ich die noch schaffen würde.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

das Thema ist schon ziemlich ausgelutscht.

Deine Funktion heißt

und aus soweit klar ?

und der maximale Fehler entsteht, wenn

maximal gewählt wird. Dazu musst du entsprechend wählen, zu deutsch: nach oben möglichst knapp abschätzen.
Christopf Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Dopap,

ich muss noch einmal auskramen da ich mit anderen Aufgaben beschäftigt war und diese erst einmal aus Frust zur Seite gelegt habe. Nun, muss ich die Fehlerberechnung auch draufhaben. Deshalb, wieso 0,003 was bringt das für ein Vorteil?

Und was meinst du mit abschätzen? Etwa den Betrag von f^3(x)/3! abschätzen ?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja, nur das Argument ist noch offen.

der maximale Fehler entsteht, wenn maximal gewählt wird.

Bemerkung: das ist keine offizielle Notation.

Das ist doch jetzt aber einfach: Das gilt, wenn der Nenner minimal wird, und das gilt ohne Rechnung für



Ich hab es jetzt aus Lerngründen komplett zu Ende gerechnet.
Christopf12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

also hast du für x=0,003 gewählt, da du ln 1,003 aufgeteilt hast in ln1 + ln0,003 und ln1 sowieso bekannt ist? Und um maximal abschätzen zu können, wähle ich xi minimal also xi=0 setze alles in mein LagrangeRestglied ein und dann habe ich den Fehler? War es das schon?

Ich bin mir noch etwas unsicher wieso genau 0,003 gewählt wurden ist. Ich weiss nicht ob ich das auf andere Funktionen übertragen könnte.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Christopf12
Hi,

also hast du für x=0,003 gewählt, da du ln 1,003 aufgeteilt hast in ln1 + ln0,003 und ln1 sowieso bekannt ist?


???

Stimmt das mit Hochschule ?

Zitat:
Und um maximal abschätzen zu können, wähle ich xi minimal also xi=0 setze alles in mein LagrangeRestglied ein und dann habe ich den Fehler? War es das schon?


Gott sei Dank ja!
Zitat:


Ich bin mir noch etwas unsicher wieso genau 0,003 gewählt wurden ist. Ich weiss nicht ob ich das auf andere Funktionen übertragen könnte.


? wie meinen ?

hätten wir gesucht, dann wäre gewesen.

Ja, das gilt auch für andere funktionen, das Restglied ist ja allgemein gehalten.
Christoph12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der Fehler von cos(1,13) gefragt wäre dann 0,13 ? Betrachte ich dabei auch den Betrag. Ja oder ? Es ist ja das normale Restglied in Betrag gegeben.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nein, dein x bleibt 1.15 . Sei der Entwicklungspunkt Null, dann:

wäre das Restglied

das Restglied hat keinen Betrag!

speziell für x=1.15 wäre das:



und jetzt den Betrag nach oben abschätzen:



einfach abgeschätzt ist der Betrag des cosinus maximal = 1

------------------------------------------------------------
man könnte sich aber überlegen ob der Betrag des cosinus in dem Intervall nicht eventuell etwas kleiner als 1 sein könnte.



leider nimmt der cosinus doch den Wert 1 an. Eine feinere Abschätzung ist leider nicht möglich.
Christoph12 Auf diesen Beitrag antworten »

So richtig habe ich leider nicht verstanden wieso hier kein Betrag stattfindet und auch nicht nur die ungerade Dezimalzahl geutzt wird.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

könntest du verständliche Fragen stellen ?

Was heißt: ungerade Dezimal Zahl , wo und wann?


wegen Betrag: da der Kosinus im Intervall sowieso > 0 ist, muss der Betrag doch nicht geschrieben werden.

wenn du dir jetzt nicht etwas Mühe gibst, dann wird der Thread geschlossen.
Christop12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe einfach nicht genau wieso ich hier nicht bei z.b. bei cos(4,5353) 0,5353 als mein x vom Restglied wähle. Mir geht kein Licht auf nach welcher Regel der Kunst hier überhaupt x gewählt wird.
Ich gebe mein bestes es zu verstehen und möchte selbstverständlich nicht alles in die Länge ziehen.

Kanst du vielleicht bezigen auf eine allgemeine Fehlerschätzung sagen, wie ich mein x zu wählen habe? xi ist jetzt bekanntlich null da ja der fehler maximal abgeschätzt werden soll.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Christop12
Ich verstehe einfach nicht genau wieso ich hier nicht bei z.b. bei cos(4,5353) 0,5353 als mein x vom Restglied wähle. Mir geht kein Licht auf nach welcher Regel der Kunst hier überhaupt x gewählt wird.


hier wäre x=4.5353 und nicht 0.5353

x wird nicht gewählt, sondern steht durch die konkrete Aufgabe fest : cos(4.5353)
Zitat:

Kanst du vielleicht bezigen auf eine allgemeine Fehlerschätzung sagen, wie ich mein x zu wählen habe?


gar nicht siehe oben.

Zitat:

xi ist jetzt bekanntlich null da ja der fehler maximal abgeschätzt werden soll.


grober Unfug. ist so zwischen dem Entwicklungspunkt und dem konkreten x zu wählen, dass der Fehler maximal wird. ( da man ja nicht weiß, welchen Wert in Wirklichkeit hat )

edit: oder meinst du unser letztes berechnetes Beispiel ? da stimmt es zufällig.
Christopf12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein nicht bezogen auf die letzte. Wieso wird dieses mal die komplette Dezimalzahl im Cosinus gewählt? Entwicklungspunkt sei 0. Also an welchen Kriterien legst du das fest und kommst zu diesem Urteil. Das muss ich unbedingt verstehen.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Christopf12
Nein nicht bezogen auf die letzte. Wieso wird dieses mal die komplette Dezimalzahl im Cosinus gewählt? Entwicklungspunkt sei 0. Also an welchen Kriterien legst du das fest und kommst zu diesem Urteil. Das muss ich unbedingt verstehen.


gut, wir hatten ja cos(x), also ist x=x

----------------------------------------------------------

Was dich verwirrt ist, dass wir eine verschobene Funktion hatten:
ln(1+x) und nicht ln(x).

wenn nun ln(1.2) gesucht ist, dann ist x=0.2 und nicht 1.2 Der Entwicklungspunkt : x_0=0

-------------------------------------------------------
hätten wir f(x) =ln(x) und würden ln(1.2) suchen, dann wäre x= 1.2

Nur könnten wir nicht wählen, ( warum ?) sondern sinnigerweise

das Restglied hätte dann die Form:

und
Christopf12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, das hilft mir jetzt sehr viel mehr, da es dann wahrscheinlich von der Verschiebung abhängig ist. Ich bin mir sicher, dass der Entwicklungspunkt vorgegeben ist immer (eventuell auch nur indirekt wie bei dieser Aufgabe).

Bei cos(x+4). Dürfte ich hier, wenn ich cos(4,555) berechnen will x= 0,555 wählen? Ein bisschen bin ich mir ja noch unsicher in Bezug zur Verschiebung aber es geht schonmal voran. Freude
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

wie du am Thread erkennen kannst, bin ich ein Menschenfreund. Ein paar Tausend Nachhilfestunden haben mich das gelehrt. smile

Ja richtig, cos(4.555)= cos(4+0.555). Man könnte also auch cos(4+x) an der Stelle x=0.555 auswerten, was aber nicht so prickelnd ist.

Es gibt neben der normalen Darstellung des Taylorpolynoms noch die da:



diese betont sozusagen implizit, dass die Funktion überwiegend in der Gegend von ausgewertet werden soll.

--------------------------------------------

Versuch mal die: Jemand hat leider auf seinem TR keine logarithmen mehr.
Er hat aber einen Polynomrechner, bei dem man die Koeffizienten a_0 bis a_4 fest speichern kann.
Er möchte nun öfters im Intervall 7<x<9 berechnen.
Er gibt sich mit einem Polynom dritten Grades als Näherung zufrieden.

Wie lauten die Koeffizienten a_0 bis a_3 ?

Was ist der maximale Fehler für die dritte Wurzel aus 8.8

Tipp:
Christopf12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi danke. Mir fällt spontan nichts dazu ein, kann mich gerade auch nicht damit auseinander setzen weil ich morgen eine Klausur schreibe. Freude

Analysis 1, Algebra 1 und Topologieräume (Grundlagen) Freude 7

Ich bin mir hier bei der Fehlerberechnung aber noch unsicher. Wenn ich z.b. Wurzel(1+x^2) habe und ich wurzel(1,444) berechnen will wie mach ich das ? Etwa wie folgt:

wurzel(1+0,444) also 0,444 einsetzen als x in meinen LagrangeFormel ?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Christopf12
Ich bin mir hier bei der Fehlerberechnung aber noch unsicher. Wenn ich z.b. Wurzel(1+x^2) habe und ich wurzel(1,444) berechnen will wie mach ich das ? Etwa wie folgt:

wurzel(1+0,444) also 0,444 einsetzen als x in meinen LagrangeFormel ?


na ja, das würde auf die Substitution x^2 = u führen mit konkretem ,

aber das ist jetzt nicht der Augenblick für noch weitere Komplikationen.

Schreib erst mal eine ( gute ) Klausur smile
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