Folge ist sigma-additiv

16.07.2013, 20:22	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge ist sigma-additiv Sei $\begin{eqnarray} \mathfrak {R} \subset \mathfrak{B}(\Omega) \end{eqnarray}$ ein Mengenring und sei $\begin{eqnarray} \mu_{k}: \mathfrak{R} \rightarrow \overline{\mathbb R_{+}}, k \geq 1 \end{eqnarray}$ , eine Folge von Inhalten. Weiter sei $\begin{eqnarray} c_{k} \in \overline {\mathbb {R_{+}}}, k \geq 1 \end{eqnarray}$ , eine Folge nicht-negativer reeller Zahlen. Man zeige: $\begin{eqnarray} \mu:= \sum_{k=1}^{\infty} c_{k}\mu_{k} \end{eqnarray}$ ist ein Inhalt auf $\begin{eqnarray} \mathfrak{R} \end{eqnarray}$ . Sind alle $\begin{eqnarray} \mu_{k} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -additiv, so auch $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ . Ich tue mich hier relativ schwer, da ich bisher nur die Sigma-Additivität für Folgen von Mengen untersucht. Definitionsgemäß für die Aufgabe habe ich folgende Aussage vor mir liegen: Sei $\begin{eqnarray} \mathfrak{A} \subset \mathfrak{B}(\Omega) \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra und seien $\begin{eqnarray} \mu_{1},...,\mu_{k}: \mathfrak{A} \rightarrow \overline{\mathbb R_{+}} \end{eqnarray}$ , Maße und $\begin{eqnarray} c_{1},...,c_{k} \in \mathbb R_{+} \end{eqnarray}$ nichtnegative Konstanten. Dann ist auch $\begin{eqnarray} \mu:= \sum_{i=1}^{k} c_{i}\mu_{i}: \mathfrak{A} \rightarrow \overline{\mathbb R_{+}}, A \rightarrow \mu(A) := \sum_{i=1}^{k} c_{i}\mu_{i}(A) \end{eqnarray}$ , ein Maß. Dasselbe gilt auch für abzählbare Linearkombinationen von Maßen. Aber das hilft mir ja nun nicht wirklich bei meiner Aufgabe. Meine einzige Idee wäre das $\begin{eqnarray} c_{k}\mu_{k} \end{eqnarray}$ als eine Menge aufzufassen und das dann als Vereinigung darzustellen, jedoch das geht nur wenn die Indexmenge abzählbar ist .. Könnte mir jemand vielleicht einen kleinen Tipp geben, wie ich rangehen kann? Liebe Grüße
17.07.2013, 12:23	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge ist sigma-additiv Eine Idee wäre noch: $\begin{eqnarray} \mu(A) = \sum_{k=1}^{\infty} c_{k}\mu_{k}(A) = c_{k} \cdot \sum_{k=1}^{\infty} \mu_{k}(A) = c_{k} \cdot \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \mu_{i}(A) \end{eqnarray}$ Ich hoffe jemand kann mir helfen...

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