Reihe mit Majorantenkriterium

16.07.2013, 20:32

StudentT

Reihe mit Majorantenkriterium

Hallo zusammen!

An folgender Reihe habe ich schon ein wenig rumprobiert und dann auch mal WolframAlpha befragt, was meine bisherigen Ergebnisse bestätigt hat: Wurzel- und Quotientenkriterium sind leider nicht geeignet, um die Konvergenz zu zeigen. Es handelt sich um folgende Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1}}{k}\;. \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich nicht, was eine geeignete konvergente Majorante ist. Erfolglos probiert habe ich bereits

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{3/2}}\,,\;\rm{sowie}\;\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac 1k\;. \end{eqnarray*}$

Ich bin für einen Hinweis sehr dankbar!

Gruß
Markus

16.07.2013, 20:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von StudentT
Erfolglos probiert habe ich bereits

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{3/2}} \end{eqnarray*}$

Wieso "erfolglos"? Mit der klappt es doch!

16.07.2013, 21:45

StudentT

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Hallo!

War die Antwort ein Schnellschuss? Leider ist die Reihe keine Majorante, sondern eine Minorante, was mir nichts bringt, da ich ja bereits weiß, dass meine zu untersuchende Reihe konvergiert...

Gruß
Markus

16.07.2013, 21:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von StudentT
War die Antwort ein Schnellschuss?

Ja, deine ist ein Schnellschuss. Finger2

Für $\begin{eqnarray*} k\geq 2 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1}}{k} = \frac{2}{k(\sqrt{k+1}+\sqrt{k-1})} < \frac{2}{(k-1)2\sqrt{k-1}} = \frac{1}{(k-1)^{3/2}} \end{eqnarray*}$

damit ist die um einen Index "verschobene" Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{3/2}} = \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{(k-1)^{3/2}} \end{eqnarray*}$ eine Majorante (abgesehen vom ersten unwichtigen Index). Und das nächste Mal denkst du besser nach, bevor du so dumme Vorwürfe machst.

EDIT: Es geht auch einfach über

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{k(\sqrt{k+1}+\sqrt{k-1})} < \frac{2}{k\sqrt{k}} = \frac{2}{k^{3/2}} \end{eqnarray*}$ ,

d.h. es gibt vielfältige Möglichkeiten, die Majorante $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{3/2}} \end{eqnarray*}$ einzusetzen. Augenzwinkern

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