Verschoben! Primideal geschnitten mit ganzen Zahlen

17.07.2013, 00:47

JetGm

Primideal geschnitten mit ganzen Zahlen

Hallo,

ich möchte gerne zeigen, dass für ein Primideal $\begin{eqnarray*} \mathfrak q \neq 0 \end{eqnarray*}$ aus einem Ganzheitsring eines Kreisteilungskörpers, und für eine Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \mathfrak q \cap \mathbb Z = p \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Ich dachte mir, es reicht zu zeigen, dass die linke Seite ein Primideal ist, da Primideale (ungleich 0) im Ring der ganzen Zahlen der Form $\begin{eqnarray*} p \mathbb Z \end{eqnarray*}$ sind.
Nun frage ich mich, ob ich es mir zu einfach mache, wenn ich einfach sage:

Seien $\begin{eqnarray*} ab \in \mathfrak q \cap \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} a \in \mathfrak q \cap \mathbb Z \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b \in \mathfrak q \cap \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Dann würde ja schon nach Definition folgt, dass es Primideal ist. Danach muss ich nur noch ein Element, das ungleich 0 ist und in $\begin{eqnarray*} \mathfrak q \end{eqnarray*}$ liegt nehmen und die Norm anwenden, dann ist diese ungleich 0 und liegt im Schnitt, daher wäre das Ideal auch nicht gleich (0).

Aber kann man die kursiv geschrieben Aussage einfach so treffen oder muss ich da mehr begründen? Wenn ja, wie begründe ich das am besten?

Danke schonmal!

Liebe Grüße
JetGm

Edit opi: Dieses Thema hat sich in der Schulmathematik unwohl gefühlt, ich habe es deshalb verschoben.

17.07.2013, 11:39

ollie3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Primideal geschnitten mit ganzen Zahlen
hallo,
das q ein primideal ist, ist doch schon vorgegeben und muss nicht erst bewiesen
werden. Ich finde man sollte sich eher überlegen, wie die elemente in diesem
ganzheitsring aussehen,und was davon noch übrig bleibt, wenn man diese
menge mit Z schneidet.
gruss ollie3

17.07.2013, 14:26

JetGm

Auf diesen Beitrag antworten »

Durch den Schnitt mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ werden ja eigentlich nur die Einheitswurzeln, also die komplexen Elemente aus dem Ganzheitsring herausgeschnitten. Das ändert an der Eigenschaft des Primideals, ein Primideal zu sein ja nichts... oder übersehe ich da noch eine wichtige Sache?

17.07.2013, 14:36

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat nichts mit der genauen Struktur des Ganzheitsrings zu tun. Das Zurückziehen von Primidealen unter Homomorphismen ergibt wieder Primideale. Mehr ist es hier nicht.

17.07.2013, 15:38

JetGm

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst dann also einen Homomorphismus der das Primideal q nach Z abbildet?
Wie kann man denn zeigen, dass Primideale unter Homomorphismen Primideale bleiben? An diesem Beweis habe ich mich auch schon versucht..
Ich finde es noch etwas ungewohnt und daher schwierig mit Ideal zu arbeiten, da ich die Vorstellung von deren Strukturen nicht so verinnerlicht habe wie von "normalen" Zahlen.

17.07.2013, 15:48

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte das Zurückziehen.

D.h. wir haben hier die Inklusion $\begin{eqnarray*} i: \mathbb Z \hookrightarrow \mathcal O_K \end{eqnarray*}$ und ein Primideal $\begin{eqnarray*} \mathfrak q \subset \mathcal O_K \end{eqnarray*}$ .

Klarerweise ist $\begin{eqnarray*} \mathfrak q \cap \mathbb Z = i^{-1}(\mathfrak q) \end{eqnarray*}$ wieder ein Primideal, denn das gilt immer: Das Urbild eines Primideal ist wieder prim.

PS: Das sogenannte "Going-Up-Theorem" (ich weiß ja nicht wie viel kommutative Algebra du so kennst) garantiert dir übrigens umgekehrt, dass es auch wirklich zu jedem $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ prim ein entsprechendes $\begin{eqnarray*} \mathfrak q \subset \mathcal O_k \end{eqnarray*}$ prim mit $\begin{eqnarray*} \mathfrak q \cap \mathbb Z = p\mathbb Z \end{eqnarray*}$ gibt.

18.07.2013, 01:41

JetGm

Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich leider nicht so gut verstanden, mit kommutativer Algebra kenne ich mich auch nicht aus und ich würde den Beweis wenn möglich gerne ohne die Inklusionsabbildung machen.
Fehlt denn bei meinem Beweisansatz etwas Wichtiges?

18.07.2013, 08:27

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von JetGm
Das habe ich leider nicht so gut verstanden, mit kommutativer Algebra kenne ich mich auch nicht aus

Dann vergiss das im PS mit dem Going-Up.

Aber sonst: Das is alles andere als ein Hexenwerk. Die Inklusion sollte dir doch keine Probleme bereiten. Das ist einfach nur die Abbildung, die jede ganze Zahl auf sich selbst abbildet, klarerweise ein Homomorphismus.

Und die Tatsache, dass das Urbild von Primidealen bei Ringhomomorphismen wieder Primideale sind, ist wirklich trivial. Das ist in einer Zeile bewiesen. Man muss es einfach nur machen.

Deinem Beweisansatz fehlt vor allem der Beweis. Du wiederholst ja im Wesentlichen nur die Behauptung.

Edit: Nicht, dass du mich falsch verstehst. Man kann das natürlich auch direkt ohne diesen Formalismus mit dem Urbild zeigen. Aber da fehlt eben bei dir noch eine Begründung. Vorallem fehlt glaube ich die Einsicht, dass es sich hier ja um ein Ideal in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ handelt und wir daher a priori, $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ wählen.

Aber in meinen Augen macht es mehr als 100%-ig Sinn, dass man in diesem Kontext direkt die allgemeinere Aussage zeigt, die sogar viel leichter zu beweisen ist, da obiges Problem gar nicht auftritt.

18.07.2013, 09:47

JetGm

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ok, du hast Recht.
Also ist die folgende Vorgehensweise ok?
- Dass $\begin{eqnarray*} \mathfrak q \cap \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein Primideal ist, zeige ich durch die Inklusionsabb., da Urbilder von Primidealen prim sind.
- Dann nehme ich mir ein Element ungleich 0, um zu zeigen, dass das Primideal nicht das Nullideal ist und
- dann kann ich anwenden, dass Primideale, die ungleich 0 sind, in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ der Form $\begin{eqnarray*} p \mathbb Z \end{eqnarray*}$ sind.

Die Tatsache, dass Urbilder von Primidealen unter Homomorphismen wieder Primideale sind, würde ich so versuchen zu beweisen:

Sei $\begin{eqnarray*} \varphi: R \mapsto S \end{eqnarray*}$ Homomorhpismus, $\begin{eqnarray*} R, S \end{eqnarray*}$ Ringe, $\begin{eqnarray*} \mathfrak q \end{eqnarray*}$ Primideal in S.
Für zwei Elemente $\begin{eqnarray*} a,b \in S \end{eqnarray*}$ soll gelten $\begin{eqnarray*} \varphi^{-1}(a)\varphi^{-1}(b) \in \varphi^{-1}(\mathfrak q) \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt für den Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi^{-1}(a)\varphi^{-1}(b)=\varphi^{-1}(ab) \in \varphi^{-1}(\mathfrak q) \end{eqnarray*}$ . Da aus $\begin{eqnarray*} ab \in \mathfrak q \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} \mathfrak q \end{eqnarray*}$ Primideal folgt, dass $\begin{eqnarray*} a\in \mathfrak q \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b \in\mathfrak q \end{eqnarray*}$ , gilt
$\begin{eqnarray*} \varphi^{-1}(a) \in \varphi^{-1}(\mathfrak q) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \varphi^{-1}(b) \in \varphi^{-1}(\mathfrak q) \end{eqnarray*}$ . Woraus nach Definition folgt, dass $\begin{eqnarray*} \varphi^{-1}(\mathfrak q) \end{eqnarray*}$ Primideal ist.

Ist das so in Ordnung?

18.07.2013, 09:51

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vorhergehensweise stimmt.

Aber beim Beweis: Du verwechselst hier Urbild und Umkehrabbildung. Letztere existiert i.A. gar nicht.

Du musst schon sagen: Sei $\begin{eqnarray*} ab \in \varphi^{-1}(\mathfrak q) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt per Definition $\begin{eqnarray*} \varphi(ab) \in \mathfrak q \end{eqnarray*}$ und dann weiter...

18.07.2013, 10:42

JetGm

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das stimmt! Ich glaube jetzt hab ich's, danke für die Hilfe! (:

18.07.2013, 11:56

JetGm

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage ist mir jetzt doch noch aufgekommen :/
Die Inkusionsabbildung ist ja gar nicht zwingend ein Homomorphismus oder? Und ich habe ja nur für Homomorphismen bewiesen, dass Urbilder von Primidealen prim sind...

19.07.2013, 14:11

JetGm

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
Edit: Nicht, dass du mich falsch verstehst. Man kann das natürlich auch direkt ohne diesen Formalismus mit dem Urbild zeigen. Aber da fehlt eben bei dir noch eine Begründung. Vorallem fehlt glaube ich die Einsicht, dass es sich hier ja um ein Ideal in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ handelt und wir daher a priori, $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ wählen.

Aber in meinen Augen macht es mehr als 100%-ig Sinn, dass man in diesem Kontext direkt die allgemeinere Aussage zeigt, die sogar viel leichter zu beweisen ist, da obiges Problem gar nicht auftritt.

Diesen edit habe ich leider erst jetzt gesehen.. mit dem Ideal in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ meinst du aber jetzt den Schnitt $\begin{eqnarray*} \mathfrak q \cap \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \mathfrak q \end{eqnarray*}$ , da dieses ja in $\begin{eqnarray*} \mathcal O_K \end{eqnarray*}$ liegt, richtig?

Ich würde sagen, dass $\begin{eqnarray*} ab\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ weil ja $\begin{eqnarray*} ab\in\mathfrak q \cap \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gilt und durch den Schnitt die komplexen Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathfrak q \end{eqnarray*}$ "entfernt" werden. Und die Eigenschaft, dass der Schnitt Primideal ist folgt, weil a und b ja auch in $\begin{eqnarray*} \mathfrak q \end{eqnarray*}$ liegen. Aber dann fehlt ja wieder der Beweis oder?

Und dein Ansatz mit der Inklusionsabb. gefällt mir auch ganz gut, aber dabei fehlt mir leider noch die Begründung, wieso das Urbild eines Primideals bei einer Inklusionsabb. wieder prim ist, denn das habe ich wie gesagt nur für Homomorphismen gezeigt. Oder kann man das daraus irgendwie herleiten?

22.07.2013, 09:14

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Selbstverständlich ist die Inklusion ein Homomorphismus.

2. Mir ging es darum, dass du dir folgendes klarmachen musst:

Wenn du (von Hand, also direkt mit der Definition) zeigen willst, dass $\begin{eqnarray*} \mathfrak q \cap \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein Primideal ist, so nimmst du ja an, dass $\begin{eqnarray*} ab \in \mathfrak q \cap \mathbb Z \end{eqnarray*}$ liegt und musst du dann zeigen, dass einer der beiden Faktoren schon drinliegt. Das wird aber jedes mal scheitern, solange du dir nicht im Klaren darüber bist, dass du sowieso a priori $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ wählst.

Mit der allgemeineren Tatsache, dass Urbilder unter Homomorphismen prim bleiben, tut sich der Anfänger wohl eher weniger schwer, da einem sofort klar ist, woraus man $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ denn wählen muss.

Neue Frage »

Antworten »

Verschoben! Primideal geschnitten mit ganzen Zahlen

Verwandte Themen