Komplexe Zahl

17.07.2013, 02:54	Amplitudeyo	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahl Macht eine komplexe Zahl als Extrema bzw. ähnlichem Sinn? Ich habe in der Vergangenheit öfter Komplexe Zahlen heraus bekommen, wobei die Abbildung definiert war vom IR -> IR. Auch Online Rechner die ich benutze zeigen mir keine komplexen Zahlen an. Deshalb meine Frage: Sind komplexe Zahlen bei Funktionsuntersuchungen sinnvoll?
17.07.2013, 07:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt Situationen, wo man beim Weg über die komplexen Zahlen auch für Funktionen $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ etwas aussagen kann. Warum zum Beispiel die reelle Taylorreihe für $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{1 + \operatorname{e}^x} \end{eqnarray}$ um $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ gerade den Konvergenzradius $\begin{eqnarray} R = \pi \end{eqnarray}$ hat, versteht man erst wirklich, wenn man die Funktion ins Komplexe fortsetzt. Auch Aufgaben der Algebra, etwa Faktorisierungen oder Partialbruchzerlegungen, lassen sich beim Umweg über die komplexen Zahlen oft besser behandeln. Bei der klassischen Kurvendiskussion haben jedoch komplexe Zahlen nichts verloren. So muß man etwa bei der Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = x^3 + x^2 + x \end{eqnarray}$ für die Ableitung $\begin{eqnarray} f'(x) = 3x^2 + 2x + 1 \end{eqnarray}$ feststellen: sie hat keine (reellen) Nullstellen, und nicht: sie hat zwei (komplexe) Nullstellen. Da $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ keine Nullstellen besitzt, muß $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ überall dasselbe Vorzeichen besitzen (Zwischenwertsatz), hier wegen $\begin{eqnarray} f'(0)=1 \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} f'(x) > 0 \end{eqnarray}$ . Daher ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ streng monoton wachsend. Wenn ich deine Frage in ihrem Umfeld also richtig verstehe, würde ich sie mit Nein beantworten: Komplexe Zahlen sind bei Untersuchungen reeller Funktionen nicht sinnvoll.
17.07.2013, 13:32	Amplitudeyo	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank für diese sehr ausführliche Antwort! Es ist nett, dass Du Dich bedankst, aber unnötig, dabei die komplette Antwort noch einmal zu zitieren - sie steht ja unmittelbar drüber. Ich hab das Vollzitat daher gelöscht. Steffen
17.07.2013, 14:04	Nubler	Auf diesen Beitrag antworten »
im bereich der komplexen zahlen machen nicht mal die begriffe größer oder kleiner sinn

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