unabhängige Zufallsvariablen

17.07.2013, 16:23

Brandi

unabhängige Zufallsvariablen

Meine Frage:
hey! Ich hänge etwas bei der unabhängigkeit von zufallsvariablen.

Also: Seien $\begin{eqnarray*} X_1,X_2 \end{eqnarray*}$ die augenzahlen von 2 würfelwürfen und $\begin{eqnarray*} U=X_1+X_2,\quad V=X_1-X_2 \end{eqnarray*}$

Behauptung: $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ sind nicht unabhängig.

Meine Ideen:
Ich muss also ereignisse $\begin{eqnarray*} A, B \end{eqnarray*}$ finden, so dass

$\begin{eqnarray*} P(\{U\in A\}\cap \{V\in B\})\neq P(U\in A)\cdot P(V\in B) \end{eqnarray*}$

Ich probiere es mit $\begin{eqnarray*} U=12 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V=-5: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\{U=12\}\cap \{V=-5\})=P(U=12)+P(V=-5)-P(\{U=12\}\cup \{V=-5\}) \end{eqnarray*}$

Ehrlich gesagt weiß ich nicht, was dies Ausdrücke $\begin{eqnarray*} P(\{U=12\}\cap \{V=-5\}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(\{U=12\}\cup \{V=-5\}) \end{eqnarray*}$ bedeuten bzw. wie man diese umformt.

Kann mir da jemand unter die arme greifen?

17.07.2013, 16:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von Brandi
$\begin{eqnarray*} P(\{U=12\}\cap \{V=-5\})=P(U=12)+P(V=-5)-P(\{U=12\}\cup \{V=-5\}) \end{eqnarray*}$

Richtig, aber vollkommen unnütz zur Berechnung.

Du musst das Ereignis $\begin{eqnarray*} \{ U=12\} \cap \{V=-5\} \end{eqnarray*}$ inhaltlich auf $\begin{eqnarray*} X_1,X_2 \end{eqnarray*}$ zurückführen, also ist durch Einsetzen schon erstmal

$\begin{eqnarray*} \{ U=12\} \cap \{V=-5\} = \{ X_1+X_2=12\} \cap \{X_1-X_2=-5\} \end{eqnarray*}$ .

Welche $\begin{eqnarray*} X_1,X_2 \end{eqnarray*}$ erfüllen zugleich diese beiden Gleichungen? Keine, d.h. es ist

$\begin{eqnarray*} \{ U=12\} \cap \{V=-5\} = \emptyset \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} P(\{ U=12\} \cap \{V=-5\}) = 0 \end{eqnarray*}$ .

17.07.2013, 16:44

Brandi

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Ach so ist das gemeint!

Vielen vielen Dank für deine Hilfe! Hat mich sehr weiter gebracht beim Lernen!

17.07.2013, 17:09

Brandi

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Kleinigkeit vergessen: $\begin{eqnarray*} Cov(U,V)=E(UV)-E(U)E(V) \end{eqnarray*}$ berechnen.

$\begin{eqnarray*} E(UV)-E(U)E(V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =E(X_1^2-X_2^2)-[E(X_1)+E(X_2)]\cdot [E(X_1)-E(X_2)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =E(X_1^2)-E(X_2^2)=0 \end{eqnarray*}$

Das heißt $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ sind unkorreliert? Gibt es eigentlich auch eine anschauliche Bedeutung von Unkorreliertheit?

17.07.2013, 18:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Brandi
Das heißt $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ sind unkorreliert?

Ja, das sind sie.

Kovarianz bzw. Korrelation bewerten die (anteilmäßig) lineare Abhängigkeit von Zufallsgrößen. Sind sie Null, dann heißt das aber nicht, dass nicht evtl. anderweitige Abhängigkeiten bestehen.

Als einfaches Beispiel: Nimm die fünf (x,y)-Punkte (-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4)

Der Korrelationskoeffizient dieser Stichprobe ist gleich Null, d.h. die Daten sind unkorreliert. Trotzdem sieht man unschwer, dass alle fünf Punkte genau auf der Parabel $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ liegen, d.h. es besteht sehr wohl eine Abhängigkeit, nur eben keine lineare.

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