Wahrscheinlichkeitsdichte bestimmen

17.07.2013, 22:48	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsdichte bestimmen Meine Frage: hey! Seien $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ unabhängig und identisch verteilt auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ . Bestimmen sie die w-keitsdichte $\begin{eqnarray} f_{X+Y} \end{eqnarray}$ mithilfe der faltungsformel. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} f_X(\xi )=f_Y(\xi )=\mathbf{1}_{[0,1]}(\xi ) \end{eqnarray}$ Faltungsformel: $\begin{eqnarray} f_{X+Y}(y)=\int_{-\infty}^\infty \! f_X(x)\cdot f_Y(y-x) \, dx =\int_{-\infty}^\infty \! \mathbf{1}_{[0,1]}(x)\cdot f_Y(y-x) \, dx \end{eqnarray}$ hmm, aber wie kann ich $\begin{eqnarray} f_Y(y-x) \end{eqnarray}$ bestimmen?
18.07.2013, 09:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal kann man die erste Indikatorfunktion schon mal nutzen, um den Integrationsbereich einzuschränken, außerdem setzen wir gleich mal die Formel für $\begin{eqnarray} f_Y \end{eqnarray}$ ein: $\begin{eqnarray} f_{X+Y}(y) = \int\limits_0^1 \mathbf{1}_{[0,1]}(y-x) ~ \dd x = \int\limits_0^1 \mathbf{1}_{[y-1,y]}(x) ~ \dd x \qquad () \end{eqnarray}$ letzteres wegen $\begin{eqnarray} \mathbf{1}_{[0,1]}(y-x) = \mathbf{1}_{[-1,0]}(x-y) = \mathbf{1}_{[y-1,y]}(x) \end{eqnarray}$ . Die unmittelbare Integralauswertung von () erfordert nun noch ein wenig Fallunterscheidung hinsichtlich $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ , als da wären $\begin{eqnarray} y<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\leq y < 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1\leq y < 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y\geq 2 \end{eqnarray}$ .
18.07.2013, 14:18	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
Es war eine schwere geburt, aber habs hinbekommen, danke

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