Zufallsvariablen-Generator

18.07.2013, 00:03

Sievo

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Zufallsvariablen-Generator

Moin Zusammen,

leider habe ich ein sehr großes Problem mit einer Aufgabe aus dem Bereich Wahrscheinlichkeitsrechnung/Zufallsvariable.
Ich sitze jetzt schon seit ein paar Stunden an der Folgenden Aufgabe:

Entwickeln Sie einen Zufallsvariablengenerator für eine Zufallsvariable mit
der Dichtfunktion:

f(x) =
e^(2x) , - Unendlich < x >= 0
und
e^(-2x) , 0 < x < unendlich

Leider stehe ich total auf dem Schlauch...Ich bin blutiger Anfänger in diesem Bereich. Ich hatte die Thematik auch leider nicht in der Schule unglücklich

unglücklich

Nichts desto trotz hoffe ich das mir jemand auf einfachem Weg erklärt wie ich aus einer Dichtefunktion einen Zufallsvariablen-Generator entwickeln kann.

Folgende Überlegung habe ich angestellt:

Ich habe die Dichtefunktion gegeben und muss auf die Verteilfunktion kommen!? Richtig?
Ich muss die Dichtefunktion integrieren um auf die Stammfunktion/Verteilfunktion zu kommen? Richtig?
Kann ich dann einfach für die erste Funktion 1/2 * e^(2x) nehmen? Und für die zweite Funktion - 1/2 * e^(-2x)?

Ich glaube ich bin total auf dem Holzweg und keine fehlenden Kenntnisse arbeiten dann auch noch gegen mich!

Vielen Dank!

Gruß

Sievo

18.07.2013, 02:23

Dopap

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durch Integration der Dichtefunktion entsteht die Verteilungsfunktion,richtig.

Nennen wir die mal F(x). $\begin{eqnarray*} F(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \dd x \end{eqnarray*}$

die Umkehrunktion dazu liefert die gewünschte Zufallsverteilung, wenn das Argument die Gleichverteilung ist.

Praktisch: $\begin{eqnarray*} Y=F^{(-1)} (Rand()) \end{eqnarray*}$ wobei Rand() die Computerfunktion ist, die gleichverteilten Werte auf [0,1] liefert.

18.07.2013, 02:43

Dopap

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nun nehmen wir mal deine 2. "Dichtefunktion"

$\begin{eqnarray*} f(x)= e^{ -2x} \quad \text{x im Intervall } ~ 0<x <\infty \end{eqnarray*}$

Das Integral ist aber $\begin{eqnarray*} \frac 12 \end{eqnarray*}$ , damit ist das keine Dichtefunktion, da das Integral der Dichte =1 sein muss verwirrt

verwirrt

Ja, und damit ist auch keine Verteilungsfunktion möglich.

zu deutsch: deine Vorgabe ist keine Dichte-funktion. unglücklich

unglücklich

18.07.2013, 08:23

Sievo

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Okay schon mal vielen dank!

Das mit dem Integral hab ich mir auch so gedacht. Es gibt aber keine Computerfunktion sondern der Generator sollte mathematisch hergeleitet werden. Nur wie soll das gehen?
Muss ich die beiden Dichten Funktionen Integrieren und dann zusammen fügen?

Ich habe die Aufgabe mal als Datei an diesen Beitrag gehängt, hoffe das geht. Meine Angaben dürften aber so richtig gewesen sein. unglücklich

unglücklich

Gruß

Sievo

18.07.2013, 08:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sievo
Kann ich dann einfach für die erste Funktion 1/2 * e^(2x) nehmen? Und für die zweite Funktion - 1/2 * e^(-2x)?

Die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ ist nicht "irgendeine" Stammfunktion der Dichte $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ , sondern die Integralfunktion $\begin{eqnarray*} F_X(t) = \int\limits_{-\infty}^t f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ . Korrekt ausgeführt ergibt die hier

$\begin{eqnarray*} F_X(t) = \begin{cases} \frac{1}{2}e^{2t} & \;\mbox{für}\, t < 0 \\ 1-\frac{1}{2} e^{-2t} & \;\mbox{für}\, t\geq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

D.h. insbesondere an der Übergangsstelle $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ muss für Stetigkeit bei $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ gesorgt werden!

Und damit kannst du dann die von Dopap oben bereits angesprochene Inversionsmethode anwenden.

18.07.2013, 09:21

Sievo

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Okay jetzt bin ich ein wenig verwirrt...

Also die erste Integration versteh ich noch und die Zweite kann ich auch noch nachvollziehen. Aber wie nutz ich jetzt die Inversionsmethode.

Ich würde die Exponentialverteilung nehmen und dann hört es aber schon bei mir auf...weil so wie ich das verstehe habe ich jetzt 2 Verteilfunktionen, die erste geht von 0 bis - unendlich und die zweite von 0 bis + unendlich.

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18.07.2013, 10:00

Sievo

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Also ich glaube so langsam kommt es bei mir an...

Ich habe jetzt die F(x) Funktion für x<0 und x> 0...

Daraus mach ich jetzt die Umkehrfunktion F^-1 und erzeuge eine paar Werte.
Und die erzeugten Werte muss ich dann wieder umwandeln in x Wert in dem ich sie in die F^-1 einsetze?

18.07.2013, 10:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sievo
habe ich jetzt 2 Verteilfunktionen, die erste geht von 0 bis - unendlich und die zweite von 0 bis + unendlich.

Vielleicht meinst du ja das richtige, aber so formuliert führt es einfach in die Irre: Es sind nicht zwei, es ist eine einzige Verteilungsfunktion, die allerdings fallweise definiert ist - so und nicht anders ist das zu sehen!!! Und auf diese eine Verteilungsfunktion ist die Inversionsmethode anzuwenden. Du kannst ja damit beginnen, $\begin{eqnarray*} F_X^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ mal aufzustellen - was auch wieder intervallweise geschieht, diesmal mit den beiden Fällen $\begin{eqnarray*} 0< y< \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\leq y < 1 \end{eqnarray*}$ .

18.07.2013, 16:48

Sievo

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Okay...Vielen Vielen Dank fürs Erste smile

smile

Ich werde mich da jetzt dran setzen und mich dann wieder melden.

18.07.2013, 17:42

Sievo

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Ich hab jetzt die Formeln umgestellt sieht finde ich soweit auch ganz gut aus!
Ich bin mir aber ehrlich gesagt nicht so sicher was du mit den Intervallen $\begin{eqnarray*} 0< y< \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\leq y < 1 \end{eqnarray*}$ . meinst oder eher woher die kommen?. Weil oben in der Aufgabe sind die ja anders angegeben und wenn ich die Umkehrfunktion bilde muss ich doch nur die Intervalle tauschen oder?

Funktion sieht wie folgt aus:

F(x) = (1/2) * e^(2x)
F^-1 (y) = (ln(2x)) / 2

F(x) = 1 - (1/2) * e^(-2x)
F^-1 = - ((ln(-2x+2))/2)

Ist das so richtig?

18.07.2013, 17:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sievo
F^-1 (y) = (ln(2x)) / 2

[...]
F^-1 = - ((ln(-2x+2))/2)

Mal $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , dann wieder kein Argument, im Funktionsterm dann wieder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ - blankes Chaos...

Und genau wie es nur ein $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ gibt, so gibt es auch nur ein $\begin{eqnarray*} F_X^{-1} \end{eqnarray*}$ , dieses (ich wiederhole es) aber durchaus mit verschiedenen Darstellung für diverse Argumentintervalle.

Also bitte nochmal, aber etwas gründlicher in der Darstellung.

18.07.2013, 17:56

Sievo

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Okay sorry, ich versuch es nochmal!

Das mit der Darstellung bekomm ich leider über dieses Formelprogramm nicht hin, aber ich wühl mich da mal durch...

18.07.2013, 19:12

Sievo

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So, ich hoffe HAL 9000 du hast noch Gedult mit mir... unglücklich

unglücklich

Ich hab das jetzt mal in Word gemacht und hoffe man kann so alles erkennen.
Ich muss dazu sagen für mich ist das alles sehr schwer, wie ich oben schon erwähnt habe bin ich blutiger Anfänger und musste mir das meinste meiner Mathe-"Kenntnisse" selbst beibringen. Also um es kurz zu sagen ich musste die meisten der Wörter aus deinem Kommentar googlen unglücklich

unglücklich

Ich habe erst die Grundfunktion genommen dann die Variablen getauscht und nach y umgestellt. Und sry in den Intervallen steht Y... Da muss aber x hin unglücklich

unglücklich

18.07.2013, 19:31

HAL 9000

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Richtig.

Freude

Es geht mir nicht um die elegante Form, sondern um Richtigkeit des Inhalts. Mit

Zitat:

Original von Sievo (ergänzt bzw. korrigiert)

F^-1 (x) = (ln(2x)) / 2 für 0 < x < 1/2

F^-1(x) = - ((ln(-2x+2))/2) für 1/2 < x < 1

wäre ich also auch zufrieden gewesen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.07.2013, 19:31

Sievo

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So...

18.07.2013, 19:34

Sievo

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smile

Ich danke dir!!!

Jetzt hätte ich aber noch ein paar kleine Fragen...

Aus deinem Graphen kann ich sehen das die Intervalle so gesetzt werden müssen, aber wie komme ich auf die Intervalle wenn ich keinen Graphen habe?

Und die zweite Frage ist...Wenn ich jetzt Zufallsvariable generiere muss ich dann Werte in die F^-1 Formel setzen und die Ergebnisse dann wieder in die Formel einsetzen um die "X" zu haben?

18.07.2013, 20:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sievo
Aus deinem Graphen kann ich sehen das die Intervalle so gesetzt werden müssen, aber wie komme ich auf die Intervalle wenn ich keinen Graphen habe?

Ja, wo ist denn die "Übergangsstelle" bei den Funktionswerten von $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ ? Offenbar bei $\begin{eqnarray*} F_X(0)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Und da $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ monoton wachsend ist, gehören alle kleineren Funktionswerte zum ersten Zweig und alle größeren zum zweiten - dazu braucht man keinen Graphen, sondern muss nur mal etwas über die Verteilungsfunktion nachdenken!

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