Karte zu Untermannigfaltigkeit

18.07.2013, 10:30

McClane

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Karte zu Untermannigfaltigkeit

Hallo,

ich habe folgende Menge gegeben:

$\begin{eqnarray*} M={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2 = 6 ; 2y^2 + z^2 = 3|} \end{eqnarray*}$

Hierbei handelt es sich um eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des R^3. Kann mir jemand helfen eine Karte zu finden? Ich komme da nicht weiter.

18.07.2013, 10:37

Che Netzer

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RE: Karte zu Untermannigfaltigkeit
Eine Karte?

Und endimensional ist die Mannigfaltigkeit auch nicht...

Wie lautet denn die Aufgabenstellung?

18.07.2013, 10:47

McClane

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Ja eine Karte. Die Aufgabenstellung ist:

-Überprüfen, ob es sich um eine Untermannigfaltigkeit handelt (Dimension angeben)
-Tangentialraum und Normalenraum angeben (Im Punkt (2,-1,1))

Für den Tangentialraum habe ich bisher immer eine Karte der Untermannigfaltigkeit angegeben und damit den Tangentialraum/Normalenraum bestimmt.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} M:=(x,y,z):z=x^2y \end{eqnarray*}$

ist zweidimensionale Untermannigfaltigkeit.

Eine Karte ist $\begin{eqnarray*} (x,y,x^2y) \end{eqnarray*}$

Die Partiellen Ableitungen hiervon (Im Punkt (0,0,0)) ergeben die Basisvektoren des Tangentialraums

Warum handelt es sich nicht um eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit?

18.07.2013, 10:51

Che Netzer

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Benutzt ihr den Begriff "Karte" wirklich in diesem Sinne? Für mich ist das eine Parametrisierung/Darstellung als Graph.

Wie hast du denn überprüft, ob $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Untermannigfaltigkeit ist? Und wie hast du die Dimension bestmmt?

18.07.2013, 10:58

McClane

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Ja im Zusammenhang mit Untermannigfaltigkeiten nehmen wir den Begriff "Karte".

Ich habe folgende Funktionen entsprechend der Menge festgelegt:

$\begin{eqnarray*} f_1=x^2+y^2+z^2-6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2=2y^2+z^2-3 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die Jacobimatrix bestimmt und den Rang abgelesen. Der Rang ist hier 2. Also muss es sich um eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit handeln oder nicht?

18.07.2013, 11:13

Che Netzer

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Ja. Und die Tangentialrichtung ist gerade die Richtung, in der die Funktion weiterhin Null bleibt, d.h. ihren Wert nicht ändert. Das ist der Kern der Jacobi-Matrix.

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18.07.2013, 11:15

McClane

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Ok da komm ich leider nicht mir. Kannst dir das vielleicht an diesem Beispiel einmal zeigen bzw erläutern?

18.07.2013, 11:21

Che Netzer

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Deine Mannigfaltigkeit ist ja gerade die Nullstellenmenge von $\begin{eqnarray*} f:=(f_1,f_2) \end{eqnarray*}$ .
Die Tangentialgerade an einem Punkt ist diejenige Gerade, welche die Mannigfaltigkeit in erster Näherung approximiert.
Und eine Gerade durch $\begin{eqnarray*} p\in M \end{eqnarray*}$ wird durch $\begin{eqnarray*} p+tv \end{eqnarray*}$ beschrieben, wobei $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ein fester Vektor ist.
In erster Näherung haben wir $\begin{eqnarray*} f(p+tv)=f(p)+tf'(p)v+O(t^2) \end{eqnarray*}$ , d.h. damit $\begin{eqnarray*} f(p+tv) \end{eqnarray*}$ in erster Näherung Null bleibt, muss $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ im Kern von $\begin{eqnarray*} f'(p) \end{eqnarray*}$ liegen.

Besser?

18.07.2013, 11:32

McClane

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Leider nicht.

Ich habe das bisher nur mit der Karte gemacht. Ich habe auch nur Beispiele, wo das mit Karten angegangen wird.

Kannst du mir vllt die Methode an einem einfachen Beispiel erklären? Ich versuche das dann bei meiner Aufgabe anzuwenden.

18.07.2013, 11:37

Che Netzer

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Dann nehme ich mal den Kreis in der Ebene, der durch $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$ beschrieben wird.
Als Jacobi-Matrix erhalten wir den Vektor $\begin{eqnarray*} (2x,2y) \end{eqnarray*}$ .
Der Kern davon, d.h. der Kern der Abbildung $\begin{eqnarray*} v\mapsto2(x,y)v \end{eqnarray*}$ ist gerade durch $\begin{eqnarray*} (-y,x) \end{eqnarray*}$ aufgespannt.
Und das ist auch gerade der Tangentialvektor; die Tangentialgerade erhalten wir als
$\begin{eqnarray*} (x,y)+t(-y,x)\,. \end{eqnarray*}$

Wenn es noch elementarer sein soll, kannst du das mal für eine durch $\begin{eqnarray*} y=ax \end{eqnarray*}$ beschriebene Gerade durchrechnen.

18.07.2013, 13:08

McClane

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Ok, ich habe das nun mal bei meiner Aufgabe probiert:

Als Jacobimatrix ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2x & 2y & 2z \\ 0 & 4y & 2z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Kern wird aufgespannt durch:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ z \\ -y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also komme ich auf die Tangentialgerade:

$\begin{eqnarray*} (x,y,z)+t(0,z,-y) \end{eqnarray*}$

Wie bekomme ich nun damit den Tangentialraum $\begin{eqnarray*} T_pM \end{eqnarray*}$ bzw den Normalenraum $\begin{eqnarray*} N_pM \end{eqnarray*}$ ?

18.07.2013, 14:21

McClane

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Also wenn ich den Punkt (2,-1, 1) betrachte, ergibt sich die Jacobimatrix zu:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 0 & -4 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Kern ist dann aufgespannt durch den Vektor:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dies ist dann auch der Tangenitalraum im Punkt (2,-1, 1)

Ist das so richtig?

18.07.2013, 16:17

Che Netzer

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Der Kern aus dem ersten der beiden Beiträge ist falsch. Der aus dem zweiten aber auch; wobei da nur die erste Komponente zu verbessern ist.

Die Idee, die Tangentialgerade dazu zu bestimmen, ist im ersten Beitrag sinnvoller gewesen.

18.07.2013, 18:07

McClane

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Was bringt mir den die Tangentialgerade?

18.07.2013, 18:30

Che Netzer

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Die wolltest du doch bestimmen? verwirrt

verwirrt

Zitat:

-Tangentialraum und Normalenraum angeben (Im Punkt (2,-1,1))

18.07.2013, 18:36

McClane

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Tangentialraum = Tangentialgerade? Sry ich verstehe das ganze Thema zu Untermannigfaltigkeiten nicht so wirklich.

Wie lautet den der Kern richtig? In beiden Fällen. Komme immer auf das Gleiche. Aber es handelt sich doch um eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit oder?

18.07.2013, 18:40

Che Netzer

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Ja, es handelt sich um eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit. Dementsprechend ist der Tangentialraum auch eindimensional, also eine Gerade.
Ein zweidimensionaler Tangentialraum (an einer Fläche) wäre dann eine Tangentialebene.

Und hast du schonmal
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2&-2&2\\0&-4&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\frac14\\\frac12\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ausgerechnet? Fällt dir etwas an deiner Matrix auf?

19.07.2013, 09:08

McClane

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Zitat:

Original von McClane
Also wenn ich den Punkt (2,-1, 1) betrachte, ergibt sich die Jacobimatrix zu:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 0 & -4 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da habe ich mich verrechnet. Es ergibt sich die Jacobimatrix zu:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & -2 & 2 \\ 0 & -4 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Der Kern ist dann aufgespannt durch den Vektor:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dies ist dann auch der Tangenitalraum im Punkt (2,-1, 1)

Ist das so richtig?

Dies krieg ich aber weiterhin raus

Wäre die Angabe äquivalent zu der Aussage, dass der Tangentialraum die Tangentialgerade

$\begin{eqnarray*} t\begin{pmatrix} -\frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist bzw reicht es auch aus zu sagen, dass der Tangentialraum durch den Kern aufgespannt ist??

Zitat:

Original von McClane

Als Jacobimatrix ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2x & 2y & 2z \\ 0 & 4y & 2z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Kern wird aufgespannt durch:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ z \\ -y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also komme ich auf die Tangentialgerade:

$\begin{eqnarray*} (x,y,z)+t(0,z,-y) \end{eqnarray*}$

Richtig wäre:

Der Kern wird aufgespannt durch:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{yz}{x} \\ z \\ -y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich die Tangentialgerade:

$\begin{eqnarray*} (x,y,z)+t(0,z,-2y) \end{eqnarray*}$

Bzw für den Punkt (2,-1,1):

$\begin{eqnarray*} (2,-1,1)+t(-\frac{1}{2},1,2) \end{eqnarray*}$

Wären beide Lösungen richtig bzw kann man beide als Angabe für einen Tangentialraum aufschreiben?

19.07.2013, 18:25

McClane

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Kann vllt jemand nochmal drüber gucken?

19.07.2013, 18:30

Che Netzer

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Ah, tut mir leid, ich hatte die Antwort vorhin gelesen, aber keine Zeit zum Antworten; seitdem war das Thema als "gelesen" markiert.

Mit
$\begin{eqnarray*} t\begin{pmatrix} -\frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
liegst du schon beinahe richtig. Aber da es die Tangentialgerade am Punkt $\begin{eqnarray*} (2,-1,1) \end{eqnarray*}$ sein soll, muss sie auch durch diesen Punkt gehen – addiere den also hinzu.

Zitat:

Der Kern wird aufgespannt durch:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{yz}{x} \\ z \\ -y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nein.

Zitat:

Damit ergibt sich die Tangentialgerade:

$\begin{eqnarray*} (x,y,z)+t(0,z,-2y) \end{eqnarray*}$

Woher kommt denn die Null?

Zitat:

Bzw für den Punkt (2,-1,1):

$\begin{eqnarray*} (2,-1,1)+t(-\frac{1}{2},1,2) \end{eqnarray*}$

Und jetzt ist sie wieder weg. Aber zumindest ist das jetzt die richtige Tangentialgerade Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.07.2013, 18:50

McClane

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Zitat:

Original von Che Netzer
Ah, tut mir leid, ich hatte die Antwort vorhin gelesen, aber keine Zeit zum Antworten; seitdem war das Thema als "gelesen" markiert.

Kein Thema! Bin ja froh das ich überhaupt Hilfe bekomme! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Der Kern wird aufgespannt durch:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{yz}{x} \\ z \\ -y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Müsste doch eig richtig sein?

Zitat:

Damit ergibt sich die Tangentialgerade:

$\begin{eqnarray*} (x,y,z)+t(0,z,-2y) \end{eqnarray*}$

Ja da ist mir ein Fehler unterlaufen. Also müsste die Tangentialgerade richtig lauten:

$\begin{eqnarray*} (x,y,z)+t(\frac{yz}{x},z,-y) \end{eqnarray*}$

Den Punkt (2,-1-1) einsetzen gibt mir dann die Tangentialgerade durch den Punkt

Vielen Dank für deine Hilfe!!!

19.07.2013, 18:52

Che Netzer

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Dann berechne mal
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2x & 2y & 2z \\ 0 & 4y & 2z \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{yz}{x} \\ z \\ -y \end{pmatrix}\,. \end{eqnarray*}$
Die dritte Komponente deines Vektors sollte noch korrigiert werden.

19.07.2013, 19:06

McClane

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Ach mist! So jetzt aber.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{yz}{x} \\ z \\ -2y \end{pmatrix}\,. \end{eqnarray*}$

Zwar viele Rechenfehler aber jetzt habe ich wenigstens das Verfahren verstanden. Danke! smile

smile

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