Gradient Null - muss es ein Sattelpunkt/Extremum sein?

18.07.2013, 11:06	zuwi	Auf diesen Beitrag antworten »
Gradient Null - muss es ein Sattelpunkt/Extremum sein? Meine Frage: Hallo, wenn der Gradient einer Funktion ja null ist, liegt ein Extremum oder ein Sattelpunkt vor. Oder keines von beidem? Ich bin mir da nicht sicher. Für definite bzw. indefinite Hessmatrizen von Funktionen ist der Fall ja klar. Doch bei semidefinitheit werden ja zusätzliche Überlegungen notwendig. Meine Ideen: Ich weiß, dass man Minima und Maxima relativ leicht überprüfen kann in dem man die "umgebung" um einen Punkt abklärt. Doch wie erkennt man einen Sattelpunkt? Und gibt es die Möglichkeit das kein Sattelpunkt und kein Minima und Maxima vorliegt, trotz Gradient=0?
18.07.2013, 11:24	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient Null - muss es ein Sattelpunkt/Extremum sein? Wird ein Sattelpunkt nicht gerade als "kritischer Punkt, aber keine Extremstelle" definiert? Welche Definition benutzt ihr denn? (und es heißt im Singular "Maximum und [bzw. "oder"] Minimum", nicht "Maxima und Minima")
18.07.2013, 11:28	zuwi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient Null - muss es ein Sattelpunkt/Extremum sein? Also so direkt haben wir das glaube ich nicht definiert. Ein Sattelpunkt liegt eben dann vor, wenn der Gradient Null wird und die Hessmatrix indefinit ist. Also positive und negative Eigenwerte besitzt.
18.07.2013, 11:31	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient Null - muss es ein Sattelpunkt/Extremum sein? Ja aber irgendwie müsst ihr Sattelpunkte doch definiert haben Wenn das über die Hesse-Matrix schon die Definition war, dann hätte $\begin{eqnarray} x^2\sin\frac1x \end{eqnarray}$ in Null eine kritische Stelle, aber weder Extrem- noch Sattelstelle (da keine zweite Ableitung existiert).
18.07.2013, 11:37	zuwi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient Null - muss es ein Sattelpunkt/Extremum sein? Naja, wir haben als hinreichendes Kriterium für eine Sattelfläche definiert: Gradient=0 und die Matrix der zweiten Ableitungen ist indefinit, also kein lokales Extremum, sondern ein Sattelpunkt. Ich find auch sonst nirgends so richtig eindeutige Informationen dazu, was passiert wenn die Matrix semidefinit ist....
18.07.2013, 11:44	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient Null - muss es ein Sattelpunkt/Extremum sein? Wenn ihr nicht definiert habt, was ein Sattelpunkt ist, ist die Frage sowieso hinfällig... Standardbeispiele sind aber $\begin{eqnarray} x\mapsto x^4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\mapsto x^3 \end{eqnarray}$ . Bei einer semidefiniten zweiten Ableitung kann man also keine Aussage treffen.
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18.07.2013, 11:57	zuwi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient Null - muss es ein Sattelpunkt/Extremum sein? Du würdest also sagen wenn die Matrix semidefinit ist, gibt es keine genauere Aussage. Fertig?
18.07.2013, 11:58	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient Null - muss es ein Sattelpunkt/Extremum sein? Ja, im allgemeinen kann man da nichts aussagen.

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