Partielle Integration

18.07.2013, 13:48

Kimyaci

Partielle Integration

Folgendes Integral soll durch partielle Integration gelöst werden:

$\begin{eqnarray*} F = \int ln^3 \cdot x \ dx \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich gar nicht; soll ich ln³ oder x als u wählen?

18.07.2013, 13:55

grosserloewe

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RE: Partielle Integration
Wink

hier mußt Du mehrmals partiell integrieren.

Schreib doch mal hin , was Du erhälst.

Ist es

$\begin{eqnarray*} \int ln^3(x) \, dx \end{eqnarray*}$

18.07.2013, 13:56

Bürgi

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RE: Partielle Integration
Hallo,

so wie Du den Integranden geschrieben hast, ist die Aufgabe total unverstaändlich.

Wenn Du allerdings meintest:

$\begin{eqnarray*} F = \int ln^3( x)\ dx = \int(\ln(x))^3\ dx \end{eqnarray*}$

dann wäre der erste Schritt

$\begin{eqnarray*} F = \int(\ln(x))^3\ dx = \int(1 \cdot (\ln(x))^3)\ dx \end{eqnarray*}$

Welcher Faktor nun u und welcher v ist liegt auf der Hand, oder?

Im Übrigen musst Du mehrfach partiell integrieren.

EDIT: ... und ich bin raus Wink

18.07.2013, 13:56

Equester

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Ist es ln(x)^3*x, oder ln(x)³?

In ersterem Falle nimm ln(x)^3=u Augenzwinkern

18.07.2013, 14:23

Kimyaci

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Bezüglich der Notation:

ICH hab das gar nicht so hingeschrieben, so steht das in der original-Aufgabenstellung (s. http://www.mp.haw-hamburg.de/pers/Vassil...nt/main-int.pdf S. 11, Aufgabe 1a)).

Edit: Ok es ist wohl (ln (x))³ gemeint!

18.07.2013, 14:34

Kimyaci

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RE: Partielle Integration

Zitat:

Welcher Faktor nun u und welcher v ist liegt auf der Hand, oder?:

Da das meine erste partielle Integration ist liegt das für mich gar nicht so klar auf der Hand.

Ich würde aber sagen: $\begin{eqnarray*} u = (ln (x))³ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v' = 1 \end{eqnarray*}$ ?

18.07.2013, 14:38

grosserloewe

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also hoch 2 oder 3 ??

18.07.2013, 14:39

Kimyaci

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Hoch 3, entschuldige! Ich bin wohl doch etwas verwirrt... Substitution war da wesentlich einfacher hingegen.

18.07.2013, 14:43

grosserloewe

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ja ist richtig Dein Ansatz

18.07.2013, 15:03

Kimyaci

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Alles klar, wenn ich dann:

$\begin{eqnarray*} u = (ln \ (x))^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u' = 3 \cdot \frac{ln \ (x)^2}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v' = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v = \int dx = x \end{eqnarray*}$

Partielle Integration wäre ja:

$\begin{eqnarray*} \int u v' \ dx = u \cdot v - \int u'v \ dx \end{eqnarray*}$

Somit:

$\begin{eqnarray*} F = (ln \ (x))^3 \cdot x \ - \ \int 3 \cdot \frac{(ln \ (x))^2}{x} \cdot x \ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F = (ln \ (x))^3 \cdot x \ - \ 3 \int (ln \ (x))^2 \ dx \end{eqnarray*}$

Wieso soll ich nun "nochmal" partiell integrieren? Also um das Integral da noch wegzubekommen?

Dann würde ich $\begin{eqnarray*} u = (ln \ (x))^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v' = 3 \end{eqnarray*}$ ?

18.07.2013, 15:22

grosserloewe

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Wieso soll ich nun "nochmal" partiell integrieren? Also um das Integral da noch wegzubekommen?

->ja

Bitte v' = 1 setzen, 3 ist doch eine Konstante, die vor das Integral
geschrieben wird.

18.07.2013, 15:39

Kimyaci

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Nun denn:

$\begin{eqnarray*} u = (ln \ (x))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u' = 2 \cdot \frac{ln \ (x)}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v' = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v = x \end{eqnarray*}$

Aber was mache ich denn mit folgendem Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} F = \textcolor{red}{(ln \ (x))^3 \cdot x} \ - \ 3 \int (ln \ (x))^2 \ dx \end{eqnarray*}$

Lass ich den einfach stehen? Und mach dann im nächsten Schritt:

$\begin{eqnarray*} F = (ln \ (x))^3 \cdot x + u \cdot v - 3 \int u'v \ dx \end{eqnarray*}$

?

18.07.2013, 15:54

grosserloewe

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Deine u u' v und v' sind richtig.

wende nun zum 2 Mal gemäß der Regel für die part. Integration
diese an , Was erhälst Du?

Es mus ja dann ein Intergal nur mit ln (x) vorkommen

und dann muß nochmal intergriert werden.

18.07.2013, 16:12

Kimyaci

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Ok, wenn ich das mache:

$\begin{eqnarray*} F = uv - \int u'v \ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F = (ln \ (x))^2 \cdot x - \int 2 \cdot \frac{ln \ (x)}{x} \cdot x \ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F = (ln \ (x))^2 \cdot x - 2 \int ln \ (x) \ dx \end{eqnarray*}$

Und jetzt nochmal partiell integriert:

$\begin{eqnarray*} u = ln \ (x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u' = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v' = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v = x \end{eqnarray*}$

Das wäre:

$\begin{eqnarray*} F = ln \ (x) \cdot x - \int \frac{1}{x} \cdot x \ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F = ln \ (x) \cdot x - \int \ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F = ln \ (x) \cdot x - x \end{eqnarray*}$

Also wäre der letzte Ausdruck quasi mein Endergebnis?

18.07.2013, 16:16

grosserloewe

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nein.

Du darfst die Ergebnisse aus den beiden ersten Integrationen nicht vergessen
Schau nochmal

18.07.2013, 16:19

Kimyaci

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Okay gut, kam mir auch komisch vor. Wie wärs mit:

$\begin{eqnarray*} F = (ln (x))^3 \cdot x - (ln(x))^2 \cdot x - ln(x) \cdot x - x + C \end{eqnarray*}$ ?

Falls das richtig ist; kann man das mittels Logarithmengesetze noch weiter zusammenfassen?

18.07.2013, 16:26

grosserloewe

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Nein , das stimmt nicht, das sind ja die Integrale , Du hast doch aber
auch die Ergebnisse von denen.
Schau nochmal bitte.

18.07.2013, 16:30

Kimyaci

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Abgesehen von diesen Vorfaktoren 3 und 2 sehe ich gerade nicht wie ich das sonst machen soll. verwirrt

Verrats mir bitte.

18.07.2013, 16:40

grosserloewe

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nein

Gehen wir schrittweise vor :

Schreibe bitte das Ergebnis der 1. Part. Integration auf

18.07.2013, 16:46

Kimyaci

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1. Partielle Integration;

$\begin{eqnarray*} F = (ln \ (x))^3 \cdot x \ - \ 3 \int (ln \ (x))^2 \ dx \end{eqnarray*}$

2. Partielle Integration;

$\begin{eqnarray*} F = (ln \ (x))^2 \cdot x \ - \ 2 \int ln \ (x) \ dx \end{eqnarray*}$

3. Partielle Integration;

$\begin{eqnarray*} F = x \cdot ln(x) - x \end{eqnarray*}$

Ach sooo, einfach nur einsetzen?

Neuer Vorschlag (schrittweise eingesetzt):

$\begin{eqnarray*} F = (ln \ (x))^3 \cdot x \ - \ 3 \int (ln \ (x))^2 \ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F = (ln \ (x))^3 \cdot x \ - \ 3 (ln \ (x))^2 \cdot x \ - \ 6 \int ln \ (x) \ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F = (ln \ (x))^3 \cdot x \ - \ 3 (ln \ (x))^2 \cdot x \ - \ 6 x \cdot ln(x) - 6 x \end{eqnarray*}$

Nun zufrieden? ^^

18.07.2013, 17:40

grosserloewe

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fast