Ausklammern

18.07.2013, 18:26

mumbi

Ausklammern

hi

ich habe mal eine frage zu einer aufgabe wo ich nicht weiter komme

ich möchte die aufgabe gerne faktoriesieren um sie einfacher berechnen zu können

die aufgabe lautet

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) \left(x-y\right)-\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right) \end{eqnarray*}$

ich habe hier jetzt gerrechnent

$\begin{eqnarray*} 1\left[\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)\left(x-y\right) \right] -1\left[\left(x-y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right] \end{eqnarray*}$

jetzt kann ich doch eigendlich den rechten teil also

$\begin{eqnarray*} \left[\left(x-y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right] \end{eqnarray*}$

ausklammern

stehen bleiben müsste ja dann

$\begin{eqnarray*} \left[\left(x-y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right]\left(1-1\right) \end{eqnarray*}$

aber wen ich ich das so berrechne kriege ich ein falsches ergebnis

das richtige ergebnis soll sein

$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{y} - \frac{2y}{x} \end{eqnarray*}$

wenn ich es ohne auszuklammern berechne!
wo hab ich da einen denkfehler verwirrt

ich hoffe einer kann mir helfen please

18.07.2013, 18:35

Equester

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Sehe hier keine Möglichkeit zu faktorisieren. Auch das Ergebnis ist ja kein Produkt. Ist also nicht unser primäres Ziel.

Ausklammern geht hier recht zügig und halte ich für den schnellsten Weg.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 1\left[\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)\left(x-y\right) \right] -1\left[\left(x-y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right] \end{eqnarray*}$

Das ist ohnehin falsch. Warum verdrehst du im hinteren Summanden jeweils das Vorzeichen?
Wenn du -1 ausklammerst, dann drehe alle Vorzeichen. Du hast aber ohnehin gar nicht -1 ausgeklammert. Das Minus gabs vorher schon Augenzwinkern

18.07.2013, 18:36

Helferlein

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RE: Ausklammern
Wie kommst Du bitte zu dieser Behauptung?

$\begin{eqnarray*} -\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right) = -1\left[\left(x-y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right] \end{eqnarray*}$

Du vertauscht hier einfach irgendwelche Vorzeichen, ohne gültige Rechenregeln anzuwenden. Vorzeichenwechsel ist nämlich auch nichts anderes als das Ausklammern von -1, so dass es niemals nur für einen Term in der Klammer gelten kann.

Edit: Dein Thread, Equester. Paßt aber ganz gut, da ich nicht so super viel Zeit habe.

18.07.2013, 18:37

Theend9219

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$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) \left(x-y\right) \end{eqnarray*}$

Wieso schreibst du dir nicht erst einmal hin was das ist? Genau ist es nämlich das:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \cdot x +\frac{1}{x}\cdot (-y)+\frac{1}{y} \cdot x +\frac{1}{y} \cdot (-y)= 1-\frac{y}{x} + \frac{x}{y} -1= -\frac{y}{x}+\frac{x}{y} \end{eqnarray*}$

Edit: ... zu spät--

18.07.2013, 19:46

mumbi

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ok sorry weiß auch nicht was da in mich gefahren ist macht wahrscheinlich die hitzte habe eine kurze pause eingelegt und jetzt hab ich es auf an hieb gesehen

die einzige möglichkeit die minus vor der klammer wegzunehmen ist

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right) \left(x-y\right)-\left(x-y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right) \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right) \left(x-y\right)+\left(-x-y\right)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y} \right) \end{eqnarray*}$

das mit den klammern war völlig daneben Hammer

18.07.2013, 19:49

Equester

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Ist leider immernoch stark daneben.

Willst du einen erneuten Versuch starten?
Alle Vorzeichen innerhalb der Klammer drehen sich. Bei dir sinds wieder nur 2 die sich drehen verwirrt

18.07.2013, 20:31

mumbi

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Zitat:

Original von mumbi
ok sorry weiß auch nicht was da in mich gefahren ist macht wahrscheinlich die hitzte habe eine kurze pause eingelegt und jetzt hab ich es auf an hieb gesehen

die einzige möglichkeit die minus vor der klammer wegzunehmen ist

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right) \left(x-y\right)-\left(x-y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right) \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right) \left(x-y\right)+\left(-x-y\right)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y} \right) \end{eqnarray*}$

das mit den klammern war völlig daneben Hammer

sehe gerade das ich da ausversehen ein paar vorzeichen vertauscht habe

so sollte es richtig heißen

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right) \left(x-y\right)-\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y} \right) \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right) \left(x-y\right)+\left(-x-y\right)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y} \right) \end{eqnarray*}$

18.07.2013, 20:50

Theend9219

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Hey, da Equester gerade nicht online ist gebe ich mal einen Tipp (Ich hoffe für Equester ist das Okay...)
Obwohl ich finde das du es dir ein bisschen umständlich machst, ist es richtig. Nun rechne weiter klammere mal aus. Das linke Produkt hatte ich dir ja schon hingeschrieben.

18.07.2013, 21:04

mumbi

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das ergebnis habe ich hatte mich nur gefragt warum ich oben nicht faktorisieren kann aber ich hatte da ja die vorzeichen falsch gedreht oder eher fehlerhaft böse

hier ist die 2 seite nochmal ausgeklammert

$\begin{eqnarray*} \left(-x\right)*\frac{1}{x}+ \left(-x\right)*\left(-\frac{1}{y} \right)+\left(-y\right)*\frac{1}{x} +\left(-y\right) \left(-\frac{1}{y} \right) \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} -1+\frac{x}{y}-\frac{y}{x} +1 \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{y}-\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

18.07.2013, 21:18

Theend9219

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Gut! Und was erhälst du nun als Lösung??

Liebe Grüße Shelly

18.07.2013, 21:21

mumbi

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achso sorry das ergebnis fehlt ja noch Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{y}-\frac{2y}{x} \end{eqnarray*}$

18.07.2013, 21:25

Theend9219

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Allright,

Liebe Grüße

18.07.2013, 23:39

Helferlein

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RE: Ausklammern
Alternativ wäre recht schnell auch der Weg über den gemeinsamen Nenner möglich:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) \left(x-y\right)-\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right) = \frac{(x+y)}{xy}(x-y)-(x+y)\frac{(y-x)}{xy}=\frac {2(x^2-y^2)}{xy} \end{eqnarray*}$

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