Extremwertaufgabe: Rechteck in Halbkreis

18.07.2013, 19:57

quark

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Extremwertaufgabe: Rechteck in Halbkreis

Meine Frage:
Hallo smile

smile

Ich hab ein Problem mit dieser Extremwertaufgabe.

Aufgabe: Einem Halbkreis wird ein Rechteck so einbeschrieben, dass eine Seite auf dem Durchmesser liegt. Berechnen Sie das Verhältnis a:b für das Rechteck mit:
a.) maximaler Fläche
b.) maximalem Umfang

Der Kreisradius ist 1

Meine Ideen:
[attach]30969[/attach]

Hier ein Bild wie das aussieht. c ist die halbe Länge von a.

Ich muss zuerst den Winkel x bekommen. Das kann man mit den trigonometrischen Sätzen machen. Also so:

$\begin{eqnarray*} \frac{b}{1}=sinx => b=sinx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{c}{1}=cosx => c=cosx \end{eqnarray*}$

Nun steht da die Gleichung für Fläche: $\begin{eqnarray*} A= a*b=2c*b=2cosx*sinx=sin2x \end{eqnarray*}$

Und ab hier komm ich nicht mehr mit. Wie weiss ich das ich gleich sin2x bekomme? Verstehe ich nicht...

Kann mir das jemand bitte erläutern?
Danke schonmal!

18.07.2013, 20:14

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Du brauchst jetzt die Gleichung für die Fläche, weil du ja einen Extremwert finden sollst und die Flächengleichung deine HB ist, die du ableitest.

Ziel deiner ersten Überlegungen war ja, eine der Variablen durch etwas Bekanntes auszudrücken.
Ich sehe im Moment nicht, dass dein eingeschlagener Weg über die Trigonometrie hilfreich ist. edit: Doch, man kann schon die Variablen in der Flächengleichung durch die Ausdrücke mit sin und cos ersetzen und auch ableiten.
Wirklich gefallen tut mir das aber nicht. Musst du es so machen?

Mein Vorschlag wäre, an den Pythagoras zu denken.

smile

smile

edit2: Ich habe das jetzt mal gemütlich auf beiden Wegen berechnet, es geht also beides. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.07.2013, 20:46

quark

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RE: Extremwertaufgabe
Hi sulo smile

smile

Ich hab aber nur den Radius gegeben und sonst ja nichts.

Es wird mir nur vorgeschlagen so vorzugehen, aber wenn es einen anderen Weg gibt dann ist auch gut. Machen wir Pythagoras.

Ich hab aber zwei Variablen, wie soll ich das ausdrücken? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1^2-c^2}=b \end{eqnarray*}$

18.07.2013, 20:58

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Ist doch prima, das ist deine NB. Freude

Freude

Die kannst du jetzt in die HB einsetzen, für Aufgabe a) ist das die Flächenformel.

smile

smile

18.07.2013, 21:11

quark

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RE: Extremwertaufgabe
gut, dann habe ich das stehen: $\begin{eqnarray*} A=a*\sqrt{1^2-c^2} \end{eqnarray*}$

18.07.2013, 21:14

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Das sind wieder 2 Variablen.

Beachte:

Zitat:

. c ist die halbe Länge von a.

Weiterhin kannst du 1 statt 1² schreiben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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18.07.2013, 21:22

quark

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RE: Extremwertaufgabe
Dann so: $\begin{eqnarray*} A=2c*\sqrt{1-c^2} \end{eqnarray*}$

kann ich dann die Wurzel weglassen?

18.07.2013, 21:23

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Nein, jetzt muss abgeleitet werden.

Frage: Wie gut kennst du dich mit Extremwertaufgaben aus?

smile

smile

18.07.2013, 21:34

quark

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RE: Extremwertaufgabe
Man kann sagen, dass ich grad erst mit Extremwertaufgaben anfange. Ist so meine 2./3. Aufgabe, die ich in letzter Zeit mache.

Aber das man als nächstes ableitet ist mir schon bewusst.

18.07.2013, 21:37

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Suchst du dir die Aufgaben selbst im Netz? Und in welche Klassenstufe gehst du denn?

$\begin{eqnarray*} A=2c*\sqrt{1-c^2} \end{eqnarray*}$

Zum Ableiten würde ich das so schreiben: $\begin{eqnarray*} A=2c*(1-c^2)^\frac12 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.07.2013, 22:53

quark

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RE: Extremwertaufgabe
Sry, musste meinen Hunger stillen.

Ja, die Aufgabe habe ich mir selbst im Netz gesucht. Ich bin im letzten Schuljahr vor dem Abi.

Nagut, dann leite ich mal ab: $\begin{eqnarray*} A'(x)=2c*\left[\frac{1}{2}*\left(1-c^2\right)^{-\frac{1}{2} } * \left(-2c\right) \right] \end{eqnarray*}$

noch korrekt?

19.07.2013, 13:53

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Hm, das ist der eine (korrekte) Summand, der andere fehlt.

Bedenke, dass du die Faktorregel anwenden musst.

smile

smile

19.07.2013, 15:26

quark

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RE: Extremwertaufgabe
$\begin{eqnarray*} A'(x)=-2c^2*\left(1-c^2\right)^{-0.5} \end{eqnarray*}$

versteh nicht ganz... muss ich eine zweite Ableitung machen, also für b...?

19.07.2013, 17:09

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Das ist nach wie vor nur der zweite Summand, nicht die komplette Ableitung!

Abgesehen davon hast du nicht A'(x) sondern A'(c). Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du kannst die Aufgabe für b oder c durchrechnen. Wenn du die Lösung für c ermittelt hast, kannst du das zugehörige b errechnen, da c und b ja in dem von dir in der NB notierten Zusammenhang stehen.
Daher ist es nicht notwendig, die gesamte Rechnung incl. Ableitung für beide Variablen durchzuführen.

Im vorliegenden Fall ist es übrigens rechnerisch egal, ob du b oder c wählst.
Es gibt jedoch Aufgabenstellungen, da ist die Rechnung mit der einen Variablen leicht und mit der anderen Variablen sehr viel aufwendiger.

smile

smile

20.07.2013, 13:32

quark

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RE: Extremwertaufgabe
Hier die komplette Ableitung, falls ich das richtig gemacht habe: $\begin{eqnarray*} A'(c)=-4c*\left(1-c^2\right)^{-\frac{1}{2} } +\left(-2c^2\right)*\left(-2c\right) \end{eqnarray*}$

20.07.2013, 14:07

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Hmm, das sieht jetzt doch etwas seltsam aus. verwirrt

verwirrt

Wohin ist der zweite Summand $\begin{eqnarray*} -2c^2*\left(1-c^2\right)^{-0.5} \end{eqnarray*}$ verschwunden?

Eigentlich fehlt jetzt nur der erste Summand, also die Ableitung des ersten Faktors * dem zweiten Faktor von A(c).

smile

smile

20.07.2013, 17:07

quark

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RE: Extremwertaufgabe
Ist das c ? Das ist doch die Ableitung des ersten Faktors... verwirrt

verwirrt

20.07.2013, 19:13

Adramelec

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Da hier schon länger nicht geantwortet wurde und sulo offline ist, antworte ich mal smile

smile

(Sulo kann natürlich jederzeit wieder übernehmen Wink

Wink

)

So: Ich komm leider auch auf ein anderes Ergebnis als du quark.

Ich glaub die Ableitung vom linken Teil ist ja easy.
Hier stand nie etwas....

Jetzt sollten wir uns nochmal gut den rechten Ausdruck anschauen:
$\begin{eqnarray*} q=(1-c^{2})^{(1/2)} \end{eqnarray*}$

Wichtig ist, wie Sulo auch schon erwähnt hat, du hast hier eine Kettenregel.

Versuch mal diesen Ausdruck abzuleiten smile

smile

(also nur q)

Wen wir das haben, haben wir alles was wir brauchen. p,q,p',q'. Bei der Produktregel setzen wir ja dann einfach nur zusammen:
$\begin{eqnarray*} f'(c) = p*q'+p'*q \end{eqnarray*}$

Viel Spaß damit smile

smile

20.07.2013, 21:30

sulo

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@Adramelec

Die Geschichte mit der Kettenregel hatte quark doch schon längst erledigt. Wenn du also schon hier einspringen willst, solltest du dir den Thread vorher genau durchlesen.

Was er noch tun muss, habe ich heute nachmittag beschrieben:

Zitat:

Original von sulo
Eigentlich fehlt jetzt nur der erste Summand, also die Ableitung des ersten Faktors * dem zweiten Faktor von A(c).

@quark

Zitat:

Original von quark
Ist das c ? Das ist doch die Ableitung des ersten Faktors... verwirrt

verwirrt

Nein, c ist nicht die Ableitung des ersten Faktors 2c. Denke noch mal nach. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Weiterhin musst du die Ableitung des ersten Faktors noch mit dem zweiten Faktor multiplizieren.

smile

smile

20.07.2013, 21:43

Adramelec

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Sorry

Gott

EDIT: Wie ich gerade sehe, hab ich, dass was er ableiten soll, eigentlich abgeleitet, da ich es für so trivial gehalten habe... Ich entferns mal lieber.

20.07.2013, 21:49

sulo

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Ach, halb so wild. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der Thread dümpelt ja leider eh nur so vor sich hin...

21.07.2013, 12:31

quark

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So dann ?: $\begin{eqnarray*} c*\left(1-c^2\right)^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'(c)=-2c^2*\left(1-c^2\right)^{-\frac{1}{2} } +c*\left(1-c^2\right)^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

21.07.2013, 12:44

quark

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ohh, ich muss mich korrigieren, so: $\begin{eqnarray*} 2*\left(1-c^2\right)^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

...denn konstante Faktoren bleiben erhalten.

dann sieht das jetzt so aus: $\begin{eqnarray*} A'(c)=-2c^2*\left(1-c^2\right)^{-\frac{1}{2} } +2*\left(1-c^2\right)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

21.07.2013, 14:10

sulo

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Jo, das ist nun richtig. Freude

Freude

Jetzt kannst du diese Ableitung Null setzen und c ausrechnen.

smile

smile

21.07.2013, 14:35

quark

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Hmm, nicht so einfach...

Zuerst vielleicht die Klammern weg, oder?

21.07.2013, 14:41

sulo

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Ja, wenn du das meinst, was ich meine:

$\begin{eqnarray*} 0=-2c^2*\left(1-c^2\right)^{-\frac{1}{2} } +2*\left(1-c^2\right)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2c^2*\left(1-c^2\right)^{-\frac{1}{2} }=2*\left(1-c^2\right)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Schreiben wir das mal mit Wurzeln und Brüchen, dann siehst du es vielleicht eher:

$\begin{eqnarray*} \frac{2c^2}{\sqrt{1-c^2} }=2\cdot \sqrt{1-c^2} \end{eqnarray*}$

Na, was sticht da ins Auge? Was sollte man machen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.07.2013, 14:54

quark

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Die Wurzeln verschwinden.

$\begin{eqnarray*} 2c^2=2 \end{eqnarray*}$

21.07.2013, 14:57

sulo

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Hmm, die können nicht verschwinden, weil die eine im Nenner steht und die andere im Zähler - und das auf verschiedenen Seiten der Gleichung.
Die Wurzeln heben sich also keinesfalls auf.

Ich würde die Gleichung mit der Wurzel erweitern. Augenzwinkern

Augenzwinkern

smile

21.07.2013, 15:17

quark

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$\begin{eqnarray*} \frac{2c^2}{\sqrt{1-c^2} }=\frac{2*\sqrt{1-c^2}*\sqrt{1-c^2} }{\sqrt{1-c^2} } \end{eqnarray*}$

21.07.2013, 15:20

sulo

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Hmm, jetzt hast du die rechte Seite der Gleichung erweitert. Könnte man machen, und dann mit dem HN multiplizieren.

Mein Gedanke war, das alles in einem Schritt zu machen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2c^2}{\sqrt{1-c^2} }=2\cdot \sqrt{1-c^2}~|~ \cdot \sqrt{1-c^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2c^2=2\cdot (1-c^2) \end{eqnarray*}$

smile

smile

21.07.2013, 15:37

quark

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Ok, ich hab soweit verstanden. smile

smile

$\begin{eqnarray*} 2c^2=2*\left(1-c^2\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2c^2=2*\left(1-c^2\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2c^2=-2c^2+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4c^2=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c^2=\frac{2}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=\sqrt{\frac{2}{4} } \end{eqnarray*}$

Gut nun habe ich c

21.07.2013, 15:47

sulo

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$\begin{eqnarray*} c=\sqrt{\frac{2}{4} } \end{eqnarray*}$

Ist zwar richtig Freude

Freude

, würde dir aber eine kleine Umformung emfehlen:

$\begin{eqnarray*} c=\frac{1}{2}\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Um jetzt b zu ermitteln, kannst du den gefundenen Wert für c in deine NB einsetzen: $\begin{eqnarray*} b = \sqrt{1^2-c^2} \end{eqnarray*}$

Ich muss jetzt leider erst mal off gehen, werde aber im Laufe des Tages hier immer mal wieder reinschauen.
Das meiste ist jetzt aber auch geschafft.

smile

smile

21.07.2013, 17:10

quark

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$\begin{eqnarray*} b=\sqrt{1-\frac{1}{2}\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

und wie rechne ich das aus?

soll ich das so mit dem TR ausrechnen?

21.07.2013, 17:26

sulo

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So ist es richtig: $\begin{eqnarray*} b=\sqrt{1- \left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right) ^2 } \end{eqnarray*}$

Ich würde also erst mal quadrieren, dann fällt die Wurzel in der Wurzel weg.
Den Rest kannst du mit dem TR machen oder per Hand, dann bleibt der genauere Wurzelausdruck stehen

smile

smile

21.07.2013, 17:28

Gast11022013

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Man könnte das $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ am besten sogar zu

$\begin{eqnarray*} c=\frac1{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

vereinfachen.

21.07.2013, 17:31

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

@Gmasterflash
Nein, man hat lieber einen rationalen Nenner.

Auch der TR stellt $\begin{eqnarray*} \frac1{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ dar. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.07.2013, 17:36

quark

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Jetzt sieht es so aus: $\begin{eqnarray*} b=\sqrt{1-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=\sqrt{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

21.07.2013, 17:36

Gast11022013

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Ich hätte jetzt gedacht, dass sich

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \end{eqnarray*}$

"leichter" quadrieren lässt als

$\begin{eqnarray*} \left(\frac12\sqrt2\right)^2 \end{eqnarray*}$

Nach dem quadrieren wäre der Nenner ja ohnehin rational (wüsste auch nicht welchen Vorteil ein rationaler Nenner vor einem irrationalem hätte)

Aber dann will ich hier auch gar nicht weiter stören.

Wink

Wink

21.07.2013, 17:47

sulo

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Zitat:

Original von quark
Jetzt sieht es so aus: $\begin{eqnarray*} b=\sqrt{1-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=\sqrt{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Ist richtig. Freude

Freude

Wobei wir auch hier eher $\begin{eqnarray*} b=\frac{1}{2}\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ schreiben sollten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du siehst, dass c und b gleich groß sind.
Gesucht wird übrigens noch a, damit du das Verhältnis von a zu b beschreiben kannst.

@Gmf
Da hast du im Prinzip recht, aber man weiß ja nicht immer, ob man noch quadrieren kann, daher ist die Darstellung mit dem rationalen Nenner vorzuziehen.

smile

smile

21.07.2013, 17:55

quark

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So und jetzt muss ich ja laut der Aufgabenstellung das Verhältnis a:b für das Rechteck berechnen.

a ist ja 2 mal c. Für c haben wir ja: $\begin{eqnarray*} C=\frac{1}{2}*\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Das noch mal 2, dann haben wir: $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

und b ist: $\begin{eqnarray*} b=\frac{1}{2}\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Somit ist b halb so gross wie a oder so gross wie c. Dann ist das Verhältnis a=2 mal so gross wie b.

Also ist das Verhältnis 2:1=a:b

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