Extremwertaufgabe: Rechteck in Halbkreis - Seite 2

21.07.2013, 18:07

Dopap

@gmf:
der rationale Nenner stammt von früher, mit dem Rechenstab.
so wurde zuerst auf der Quadratskala der Radikant eingestellt und dann gleich weiterdividiert.Man musste so den Wurzelwert nicht verwenden (einstellen) Augenzwinkern

edit: es geht nicht um das Beispiel, solche Standardwerte kennt man sowieso auswendig.
bei $\begin{eqnarray*} \frac {45}{\sqrt {91}} \end{eqnarray*}$ habe ich den Nenner nicht rational gemacht, sondern
genauso gerechnet, um am Ende nur auf der Reziprokskala abgelsen, praktisch so

$\begin{eqnarray*} 91~, \sqrt {}~, 45 /,~ \frac 1 x \end{eqnarray*}$

21.07.2013, 19:05

sulo

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Zitat:

Original von quark
Also ist das Verhältnis 2:1=a:b

Richtig.

Bliebe noch Teil b.) => Das gleiche mit maximalem Umfang statt maximaler Fläche.

Falls du das auch berechnen möchtest, fange gerne mal an.

@Dopap
Es ist aber auch so, dass man den Wert des Ausdrucks besser abschätzen kann, wenn im Nenner keine Wurzel steht.
Von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ weiß man doch den Anfang: 1,414; die Hälfte davon ist kein Problem, man hat also sofort eine ziemlich genaue Idee, in welcher Größenordnung man sich bewegt.

$\begin{eqnarray*} \frac1{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ hingegen ist schon etwas schwieriger, man muss 1 : 1,414 rechnen, das ist doch aufwendiger.

smile

21.07.2013, 19:25

quark

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Die HB: 2a+2b=U => soll maximal werden

NB: 2a=U-2b oder 2b=U-2a

noch ok?

21.07.2013, 19:31

sulo

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Naja, du kannst für die NB nicht einfach die HB umstellen.

Mit Hilfe der NB soll ja eine der Variablen der HB ersetzt werden, daher brauchst du für die NB eine andere Gleichung.
Du kannst natürlich die gleiche wie aus Teil a) verwenden, da der Pythagoras nach wie vor gilt.

NB: $\begin{eqnarray*} b = \sqrt{1-c^2} \end{eqnarray*}$

Mit dieser NB wäre dann auch klar, dass du in der HB statt mit a lieber erst mal mit c arbeiten solltest.

smile

21.07.2013, 19:47

quark

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Ja stimmt, du hast recht.

Ich hab nun das stehen: $\begin{eqnarray*} U=4c+2\sqrt{1-c^2} \end{eqnarray*}$

Nun kann ich als nächstes ableiten: $\begin{eqnarray*} U'(c)=4+2*\frac{1}{2}*\left(1-c^2\right)^{-\frac{1}{2} }*-2c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U'(c)=4-2c*\left(1-c^2\right)^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U'(c)=4-2c*\frac{1}{\sqrt{1-c^2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U'(c)=4-\frac{2c}{\sqrt{1-c^2} } \end{eqnarray*}$

21.07.2013, 19:51

sulo

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Ah, jetzt flutscht es. Freude

Um diesmal die Wurzel weg zu bekommen, wirst du quadrieren müssen.

Leider bin ich jetzt erst mal weg, schaue heute Abend spät noch mal rein.

Wink

21.07.2013, 22:44

quark

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$\begin{eqnarray*} U'(c)=4-\frac{2c}{\left(\sqrt{1-c^2} \right)^2 } \end{eqnarray*}$

Hast du das so gemeint?

21.07.2013, 22:50

sulo

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Nein, du musst schon die beiden Seiten der Gleichung quadrieren, also sämtliche Terme, aber vorher musst du sie Null setzen, weil du ja den Extremwert suchst. Augenzwinkern

Weiterhin würde ich dann den Subtrahenden auf die andere Seite der Gleichung bringen, bevor du quadrierst.

(Bin leider erst mal wieder weg, später aber dann wieder hier.)

smile

21.07.2013, 23:28

quark

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$\begin{eqnarray*} U'(c)=4-\frac{2c}{\sqrt{1-c^2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U'(c)=4-\frac{2c}{\left(1-c^2\right)^{\frac{1}{2} } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U'(c)=4=\frac{2c}{\left(1-c^2\right)^{\frac{1}{2} } } \end{eqnarray*}$

ohh, die Wurzel kann ich lassen, dann siehts so aus: $\begin{eqnarray*} 4^2=\left(\frac{2c}{\sqrt{1-c^2} } \right)^2 \end{eqnarray*}$

22.07.2013, 00:16

Dopap

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Zitat:

Original von quark
$\begin{eqnarray*} U'(c)=4-\frac{2c}{\sqrt{1-c^2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U'(c)=4-\frac{2c}{\left(1-c^2\right)^{\frac{1}{2} } } \end{eqnarray*}$

wie du das schreibst ist unerheblich.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} U'(c)=4=\frac{2c}{\left(1-c^2\right)^{\frac{1}{2} } } \end{eqnarray*}$

die Schreibfigur geht nicht,
wenn du vorher U'(c)=0 setzt (w.g. Extremstelle ) ( wo ?) bleibt übrig:

$\begin{eqnarray*} 4=\frac{2c}{\left(1-c^2\right)^{\frac{1}{2} } } \end{eqnarray*}$

Zitat:

ohh, die Wurzel kann ich lassen, dann siehts so aus: $\begin{eqnarray*} 4^2=\left(\frac{2c}{\sqrt{1-c^2} } \right)^2 \end{eqnarray*}$

sehr schön, das Quadrieren aber auch ausführen, nicht nur symbolisch hinschreiben.

also: $\begin{eqnarray*} 16=\frac{4c^2}{(\sqrt{1-c^2})^2 } \end{eqnarray*}$

wie geht es weiter ?

22.07.2013, 00:28

quark

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Ja, du hast recht, ist falsch was ich hingeschrieben habe.

So gehts weiter: $\begin{eqnarray*} 16=\frac{4c^2}{1-c^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16*\left(1-c^2\right)=4c^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16-16c^2=4c^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16=20c^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{16}{20} }=c \end{eqnarray*}$

22.07.2013, 00:30

sulo

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Ist richtig. Freude

Du könntest noch ein wenig umschreiben: $\begin{eqnarray*} c = \frac 25 \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch a ausrechnen sowie b mit Hilfe der NB.

smile

22.07.2013, 00:39

Dopap

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@sulo: du schaust also auch noch nach Mitternacht=später Abend nach dem Rechten Big Laugh

gut zu wissen !
Bevor es Montag wird, wollte ich noch etwas Dampf in den ( Marathon)-Thread bringen !

22.07.2013, 00:42

quark

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Muss ich diese NB nehemen? $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-b^2}=c \end{eqnarray*}$

22.07.2013, 00:46

quark

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hmm, so..: $\begin{eqnarray*} b=\sqrt{1-\frac{16}{20} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

22.07.2013, 00:57

sulo

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Hmm, da fehlt noch was bei der Lösung für b.

$\begin{eqnarray*} b = \frac 15 \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

Und damit verabschiede ich mich für diese Nacht. Wink

@Dopap
Passt schon, dass du was geschrieben hast. Augenzwinkern

22.07.2013, 01:36

Dopap

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Zitat:

Original von quark
hmm, so..: $\begin{eqnarray*} b=\sqrt{1-\frac{16}{20} } \end{eqnarray*}$

ja schon, aber dann geht es weiter: $\begin{eqnarray*} b=\sqrt {\frac {20-16}{20}}\qquad \bigg | \end{eqnarray*}$ gemeinsamer Nenner

$\begin{eqnarray*} b=\sqrt {\frac {4}{20}} \qquad \bigg | \end{eqnarray*}$ Addition ausführen

$\begin{eqnarray*} b=\sqrt {\frac {1}{5}}\qquad \bigg | \end{eqnarray*}$ kürzen

$\begin{eqnarray*} b=\frac {1}{\sqrt 5}\qquad \bigg | \end{eqnarray*}$ teilweise Radizieren

$\begin{eqnarray*} b=\frac {\sqrt 5}{\sqrt 5 \sqrt 5}\qquad \bigg | \end{eqnarray*}$ erweitern

$\begin{eqnarray*} b=\frac {\sqrt{5}} {5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=\frac 1 5 \sqrt{5} \qquad \bigg | \end{eqnarray*}$ Bruchregel

du solltest dir jeden Schritt klar machen. Alles nach den Regeln Augenzwinkern

22.07.2013, 01:47

Dopap

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RE: Extremwertaufgabe

Zitat:

Original von quark
Dann so: $\begin{eqnarray*} A=2c*\sqrt{1-c^2} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle ist angesichts der Ableitung zu überlegen ob man nicht besser

$\begin{eqnarray*} A(c)=2\sqrt{c^2-c^4} \end{eqnarray*}$ verwendet, das erspart die Produktregel.

Man könnte auch das Quadrat von A minimieren, da es an derselben Stelle liegt:

$\begin{eqnarray*} A_Q(c)= 4 (c^2-c^4) \end{eqnarray*}$ ableiten und Nullstelle sind problemlos möglich.

22.07.2013, 09:55

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
@Dopap

Angesichts der Tatsache, dass der FS gesagt hat:

Zitat:

Original von quark
Ich bin im letzten Schuljahr vor dem Abi.

.... habe ich auf weitere Umformungsschritte verzichtet sondern gleich mal das korrigierte Ergebnis hingeschrieben.
Mein Gedanke war auch, dass er einfach in der späten Stunde die Wurzel vergessen hatte. Augenzwinkern

Auch habe ich drauf verzichtet, auf ein mögliches Quadrieren der HB zweckes Vereinfachung hinzuweisen oder doch noch auf den vielleicht kürzeren Weg über die Trigonometrie umzuschwenken (auch wenn dies in der Aufgabe so angedacht war).

Es ist ja nur zum Üben, von daher ist uns der Weg freigestellt, und mir schien doch ein gewisser Nachholbedarf bei der Anwendung von Produkt- und Kettenregel zu bestehen. Augenzwinkern

22.07.2013, 10:52

quark

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RE: Extremwertaufgabe
Also, schlussendlich ist es mir wichtig, dass ich den Rechnungsweg nachvollziehen kann, zum Üben ist dieser Weg schon gut..., nur ich muss dann auch solche Aufgaben mit möglichst wenig Zeitaufwand bei der Klausur lösen können.

Gut dann hab ich nun b. Somit hab ich jetzt alles.

$\begin{eqnarray*} A=2*\left(\frac{2}{5}\sqrt{5} \right)*\left(\frac{1}{5}\sqrt{5} \right) \end{eqnarray*}$

22.07.2013, 12:06

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Hmm, wir sind bei Teil b), hier geht es um den Umfang, nicht um die Fläche.

Weiterhin ist nicht der maximale Umfang als solcher gefragt sondern nur das Verhältnis von a zu b.
Diese Frage nur (!) nach den Verhältnissen statt nach den tatsächlichen Größen von a und b in beiden Aufgabenteilen ist zum einen sehr ungewöhnlich, zum anderen auch der Grund, warum es hier vorteilhaft gewesen wäre, mit sin, cos und tan zu arbeiten.
In der Schulpraxis ist aber der von uns gewählte Weg der bei Weitem häufigere und man muss, so wie wir das auch getan haben, Werte für die Variablen ermitteln.

Du solltest auch wissen, dass man bei Extremwertaufgaben oft auch noch mit Hilfe der zweiten Ableitung überprüfen muss, ob man nun ein Min oder ein Max gefunden hat.

Wenn du bei dieser Aufgabe darauf verzichten möchtest, wäre das aber ok. Augenzwinkern

22.07.2013, 12:32

quark

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RE: Extremwertaufgabe
Stimmt, so sollte das sein: $\begin{eqnarray*} U=2*\left(\frac{2}{5}\sqrt{5} \right)+2*\left(\frac{1}{5}\sqrt{5} \right) \end{eqnarray*}$

Gut, ich muss das Verhältnis von a:b wissen.

$\begin{eqnarray*} a=4*\left(\frac{2}{5}\sqrt{5} \right) =3.56 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=2*\left(\frac{1}{5}\sqrt{5} \right)=0.89 \end{eqnarray*}$

Verhältnis ist: 4:1=a:b

22.07.2013, 12:42

thk

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RE: Extremwertaufgabe
Da ich nicht so strikt an den Höflichkeitskodex gebunden bin wie die Mods hier muss ich jetzt mal auf den Grund aufmerksam machen, aus dem der Thread so lang geworden ist

Wenn du dir nur halb so viel Mühe beim Nachdenken geben würdest wie beim Texen (was letztlich ja positiv ist), dann wäre die Sache schon längst ausgestanden. Aber du schreibst offenbar völlig gedankenverloren los: a und b sind die Seitenlängen des Rechtecks. $\begin{eqnarray*} \frac{2}{5}\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

Also 2 Äpfel und 1 Apfel restringiert betrachtet. Und Tchö

Edit Ups dein U-Ansatz ist ja auch falsch. a=2c= $\begin{eqnarray*} \frac{4}{5}\sqrt{5} \end{eqnarray*}$
Hier braucht man schon Insiderwissen Augenzwinkern

Dementsprechend das Verhältnis. Fehler und Gegenfehler in deiner Rechnung :O AFK

edit von sulo: Überflüssiges Vollzitat entfernt.

22.07.2013, 14:59

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
@quark
Man muss gar nicht die Werte ausrechnen, der Wurzelausdruck ist erstens exakter, zweiten sieht man viel eher das Verhältnis.

Schreiben wir die Ergebnisse noch mal konkret auf:

$\begin{eqnarray*} b = \frac 15 \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = \frac 25 \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

a = 2c ==> $\begin{eqnarray*} a = \frac 45 \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

Und somit: a:b = 4:1 , wie du es richtig ermittelt hast. Freude

@thk
Auch Mitglieder und User sind an die Netiquette gebunden.
Ich finde es etwas unpassend, wenn ein unbeteiligter Leser des Threads meint, er müsste dem Fragesteller erklären, warum was nicht so lief, wie er - der Leser - sich das vorstellt.
Dass er teilweise unaufmerksam war, gelegentlich Probleme mit der Materie hat und vielleicht auch mal den Überblick verloren hat, wird quark schon selbst gemerkt haben.
Das muss man ihm nicht noch extra erklären.

Davon abgesehen greift deine inhaltliche Kritik nicht wirklich:
Diese Darstellung war vollkommen richtig, du hast sie fälschlich als fehlerhaft moniert:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a=4*\left(\frac{2}{5}\sqrt{5} \right) =3.56 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=2*\left(\frac{1}{5}\sqrt{5} \right)=0.89 \end{eqnarray*}$

Lediglich beim Umfang hat quark mit c statt mit a gearbeitet. Augenzwinkern

22.07.2013, 15:52

quark

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RE: Extremwertaufgabe
Ja, du hast recht, ich hätte das als Wurzelausdruck so stehen lassen sollen.

Die zweite Ableitung scheint mir ja jetzt nicht so nötig zu sein, da wir rechnerisch nur das Verhältnis bestimmen mussten, anders wäre das wenn ich einen konkreten Wert am Ende haben soll.

SUPER! Dann sind wir wohl durch mit der Aufgabe würde ich meinen. Augenzwinkern

22.07.2013, 18:46

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Das sehe ich auch so. smile

23.07.2013, 18:42

quark

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RE: Extremwertaufgabe
Vielen Dank fürs Helfen und die Mühe. Wink

23.07.2013, 18:44

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
Gern geschehen. smile

24.07.2013, 21:04

thk

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RE: Extremwertaufgabe

Zitat:

Original von sulo

Schreiben wir die Ergebnisse noch mal konkret auf:

$\begin{eqnarray*} b = \frac 15 \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = \frac 25 \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

a = 2c ==> $\begin{eqnarray*} a = \frac 45 \sqrt{5} \end{eqnarray*}$
...
Diese Darstellung war vollkommen richtig, du hast sie fälschlich als fehlerhaft moniert:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a=4*\left(\frac{2}{5}\sqrt{5} \right) =3.56 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=2*\left(\frac{1}{5}\sqrt{5} \right)=0.89 \end{eqnarray*}$

Na wenn du meinst Augenzwinkern

Zitat:

Original von sulo
...
Auch Mitglieder und User sind an die Netiquette gebunden.
Ich finde es etwas unpassend, wenn ein unbeteiligter Leser des Threads meint, er müsste dem Fragesteller erklären, warum was nicht so lief, wie er - der Leser - sich das vorstellt.
...

(1) ist mir klar und ich war ja auch höflich
(2) betraf meine Kritik eine allgemeine heuristische Auffälligkeit in mehreren Beiträgen und bedeutete eine implizite Empfehlung. Aber hinsichtlich der Effektivität allgemeiner Hinweise kann freilich jeder anderer Meinung sein, also sorry smile

24.07.2013, 21:08

sulo

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RE: Extremwertaufgabe
@thk

Stimmt, bei den Darstellungen für a und b waren quark und auch ich gedanklich beim Umfang.
Er hat offenbar seine Werte aus der Umfangsformel genommen, auch wenn er dort mit c statt mit a gerechnet hatte.
Da im Umfang sowohl a als auch b verdoppelt sind, hat also der Umstand, dass er nicht mit den tatsächlichen Werten gerechnet hat, keinen Einfluss auf das Ergebnis: Es ist richtig.

Meine Aussage, dass die aus dem Zusammenhang gerissenen Werte für a und b stimmen, ist dann natürlich nicht richtig, vielmehr hätte es jeweils 2a und 2b heißen müssen.

Die tatsächlichen Werte für a und b sind die von mir angegebenen.

Insofern hattest du recht und ich lag falsch.

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