Reihenentwicklung Sinus/Cosinus (Grenzwert)

19.07.2013, 02:19

Martin1

Reihenentwicklung Sinus/Cosinus (Grenzwert)

Ich soll mithilfe der Reihenentwicklung des Sinus und Kosinus folgendes zeigen:

1) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0} } \left(\frac{sin(x-x_{0}) }{x-x_{0}}-1 \right) =0 \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0} } \left(\frac{cos(x-x_{0})-1) }{x-x_{0}} \right) =0 \end{eqnarray*}$

Naja, da 2 Analog zu 1 ist, reicht es vollkommen aus die erste Teilaufgabe zu verstehen. Meine Idee ist es, für sin(x-x0), den Reihenwert von sin (x-x0) einzusetzen. Was ich danach zu tun habe ist mir völlig unklar. Mal sehen ob jemand mir helfen kann. verwirrt

Zweiten Beitrag angefügt und gelöscht. Steffen

Ich hab mir jetzt die Lösung einfach angeschaut traurig

und verstehe die ersten Schritte vollkommen. Es folgt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0} } \left(\frac{sin(x-x_{0}) }{x-x_{0}}-1 \right) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0} } \left(\frac{\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{x^{2k+1} }{(2k+1)!} ) }{x-x_{0}}-1 \right)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0} } \left(\frac{1 }{x-x_{0}}*(\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{x^{2k+1} }{(2k+1)!})-1 \right)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0} } \left(\frac{1 }{x-x_{0}}*((x-x_{0})+\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{x^{2k+1} }{(2k+1)!})-1 \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man wunderbar x-x0 kürzen. Aber nach welchen Regeln? Also ich verstehe schon wenn man ausmultipliziert, dass sich x-x0 kürzt, aber gleichzeitig sollte doch ein neuer Term entstehen, nämlich (Sinus Reihe mit k=1 bis Unendlich/(x-x0) -1/(x-x0))

Edit: In der Summe muss x-x0 stehen und nicht nur x, da ja bekanntlich sin(x-x0) gegeben ist!

edit von sulo: Zeilenumbrüche eingefügt.

19.07.2013, 18:03

dastrian

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RE: Reihenentwicklung Sinus/Cosinus (Schwieriger Grenzwert)
Hi Martin!

Ich verstehe leider nicht ganz, wo dein Problem liegt bzw. was für ein neuer Term entstehen sollte. Mir hilft in solchen Fällen, die Lösung nochmal in Schönschrift und schön strukturiert aufzuschreiben, dann sieht mans plötzlich sofort:

$\begin{eqnarray*} sin(x-x_0) = \sum_{k=0}^\infty {(-1)^k (x-x_0)^{2k+1} \over (2k+1)!} = (x-x_0) \sum_{k=0}^\infty {(-1)^k (x-x_0)^{2k} \over (2k+1)!} \end{eqnarray*}$

Dies führt zu
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow x_0} {sin(x-x_0) \over x-x_0} - 1 = \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \sum_{k=0}^\infty {(-1)^k (x-x_0)^{2k} \over (2k+1)!} - 1 = \sum_{k=0}^\infty {(-1)^k 0^{2k} \over (2k+1)!} -1 = 1-1=0 \end{eqnarray*}$

Der zweite Aufgabenteil müsste ganz ähnlich gehen, beachte aber durchaus, dass die "-1" diesmal im Zähler des Bruchs steht!

19.07.2013, 18:16

Martin1

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Hallo und vielen dank für deine Antwort. Ich hatte es bereits geschaft:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0} } \left(\frac{1 }{x-x_{0}}*((x-x_{0})+\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{(x-x_{0})^{2k+1} }{(2k+1)!})-1 \right)<br /> =\lim_{x \to x_{0} } \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{(x-x_{0})^{2k} }{(2k+1)!}= \sum\limits_{k=1}^\infty \lim_{x \to x_{0} } (-1)^k\frac{(x-x_{0})^{2k} }{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

Der letzte Term stammt von der Musterlösung. Kannst du mir sagen wieso ich den Limes in die Summe reinholen kann? Und woher weiss ich das dieser Wert 0 ist? Hier wird leider nicht drauf eingegangen, sondern nur gesagt das es 0 ist.

mfg

Edit1: Mich würde interessieren wieso in der letzten Reihe deiner Gleichung im Zähler 0^2k steht.
Wie kommst du den darauf ?

Edit2: Bzgl Edit: 1 Es ist ja x0-x0. Erledigt!

Edit 3: Deine Antwort scheint ,,richtiger" zu sein den mir fällt auf das mein Endwert gar nicht 0 ergeben kann oder? Aber nach Musterlösung ergibt das 0. Hast du eine Idee dazu ?

edit von sulo: Vgl: Kürzen
Doppelposts sind unerwünscht, bitte beachte das Boardprinzip.

19.07.2013, 19:06

dastrian

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Hi!
Sehr gut, zu der Frage

Zitat:

wieso ich den Limes in die Summe reinholen kann?

sollte man immer etwas sagen!! - Was ich leider versäumt habe, deswegen hol ichs hier nach:

Man darf den Limes deshalb reinziehen, weil eine Potenzreihe dort, wo sie absolut konvergiert, eine stetige (!) Funktion definiert. Warum aber konvergiert die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty {(-1)^k x^{2k} \over (2k+1)!} \end{eqnarray*}$ in einer offenen Umgebung von 0 absolut? Naja, die Koeffizienten der Reihe sind ja betragsmäßig $\begin{eqnarray*} {1 \over (2k+1)!} \end{eqnarray*}$ für gerade k bzw. 0 für ungerade k, d.h. sie sind kleiner gleich der Beträge der Koeffizienten des Cosinus, und die Reihendarstellung des Cosinus konvergiert auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ absolut, also konvergiert auch unsere Reihe absolut. (Majorantenkriterium)

Ansonsten ist auch deine Rechnung richtig: Achte bei deinem Endwert nochmal darauf, dass deine Summe ja bei k=1 beginnt!

19.07.2013, 19:24

Martin1

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Vielen dank, jetzt verstehe ich wieso ich den lim hineinziehen kann. Mir bleibt jedoch immer noch ein Rätsel wie ich bei deinem Term auf 1 komme und bei ,,meinem" auf 0 (Wird dieser Unterschied tatsächlich nur durch die verschiedenen Startindizes hervorgebracht, also das bei deiner 1 und bei meinem Term 0 herauskommt?):

Also, ich meine wieso

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \sum_{k=0}^\infty {(-1)^k (x-x_0)^{2k} \over (2k+1)!}=1 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \sum_{k=1}^\infty {(-1)^k (x-x_0)^{2k} \over (2k+1)!}=0 \end{eqnarray*}$

ist.

Kannst du das bitte noch etwas verständlicher erklären ?

Mfg Martin

19.07.2013, 22:57

dastrian

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Hi Martin!

Das ist einfaches Einsetzen: wir haben schon geklärt (und nochmal: man muss es immer klären!), dass man die Limites einfach reinziehen kann, mit anderen Worten: man "setzt" in der Reihe für $\begin{eqnarray*} x-x_0 \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ "ein". Und jetzt überleg dir einfach für jedes k, welcher Term dann da steht. Es gilt nämlich

für $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ : es gilt $\begin{eqnarray*} 0^0 = 1 \end{eqnarray*}$ (mein Mathelehrer in der Schule hatte mal behauptet, null hoch null sei null, aber nicht zuletzt wegen Potenzreihen macht es viel mehr Sinn, null hoch null gleich eins zu setzen!)
für $\begin{eqnarray*} k>0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 0^k=0 \end{eqnarray*}$

Das bedeutet: wenn du in der Reihe $\begin{eqnarray*} (x-x_0) = 0 \end{eqnarray*}$ setzt, dann steht in der ersten Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty {(-1) 0^{2k} \over (2k+1)!} = {0^0 \over 1!} - {0^2 \over 3!} + {0^4 \over 5!} - {0^6 \over 7!} + ... = 1 - 0 + 0 - 0 + ... = 1 \end{eqnarray*}$

Ganz analog setzt du $\begin{eqnarray*} (x-x_0) = 0 \end{eqnarray*}$ in der zweiten Reihe und erhälst
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty {(-1) 0^{2k} \over (2k+1)!} = - {0^2 \over 3!} + {0^4 \over 5!} - {0^6 \over 7!} + {0^8 \over 9!} - ... = - 0 + 0 - 0 + 0 ... = 0 \end{eqnarray*}$

Letztlich ist es ganz einfaches Einsetzen, man darf sich bloß nicht von den großen Formeln und den ganzen Begriffen wie "limes" und "unendliche Reihe" verwirren lassen.

19.07.2013, 23:38

Dopap

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Zitat:

Original von dastrian
[...]
mein Mathelehrer in der Schule hatte mal behauptet, null hoch null sei null, aber nicht zuletzt wegen Potenzreihen macht es viel mehr Sinn, null hoch null gleich eins zu setzen! [...]

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^x \end{eqnarray*}$ ist doch offensichtlich 1.

Wie sollte man dann 0^0 anderst als 1 definieren verwirrt

Das wäre doch seltsam ?

19.07.2013, 23:49

Martin1

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Guten Abend dastrian,

vielen dank für deine so große Mühe und Hilfsbereitschaft. Letztendlich habe ich es nun verstanden. Das x-x0=0 ist kommt ja nur daher da x gegen x0 geht und somit x0-x0=0 steht oder ?

mfg Martin

20.07.2013, 00:08

dastrian

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Zitat:

Original von Dopap

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^x \end{eqnarray*}$ ist doch offensichtlich 1.

Wie sollte man dann 0^0 anderst als 1 definieren verwirrt

Das wäre doch seltsam ?

Naja, also erstmal ist ja 0^x = 0 für alle x>0, d.h. egal wie du 0^0 definierst, x^y ist nicht stetig an (0,0) als Abbildung $\begin{eqnarray*} [0, \infty) \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ - aber wie gesagt, ich will ja auch nicht die Auffassung vertreten, sondern halte ebenfalls 0^0=1 für viel sinnvoller (bzw. sogar letztlich das einzig sinnvolle!). Vielleicht hatte dieser mehr oder weniger kompetente Lehrer auch einfach an dem Tag keine Ahnung gehabt und mir einfach die erste Antwort gegeben, die ihm eingefallen ist: null hoch null gleich äääh null - klingt ja erstmal gut und sicher besser als ein "weiß ich nicht"

@Martin1: Genau so ist es!

Liebe Grüße an euch beide,
dastrian

20.07.2013, 13:19

Martin1

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Hallo Leute,

ich habe versucht dasselbe mit der Kosinusreihe also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0} } \left(\frac{cos(x-x_{0})-1) }{x-x_{0}} \right) =0 \end{eqnarray*}$ zu zeigen und bin nun bei

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0} } \left(\frac{ \sum_{k=1}^\infty {(-1)^k (x-x_0)^{2k} \over (2k!)}) }{x-x_{0}} \right) \end{eqnarray*}$ , wobei -1 sich mithilfe des ersten Summanden der Reihe +1 aufgelöst hast. Jemand eine Idee wie ich nun die x-x0 wegbekomme ? In Der Musterlösung wird anscheinend in der Reihe ein -1 zum Exponeten von (x-x0) hinzugefügt. Also

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty {(-1)^k (x-x_0)^{2k-1} \over (2k!)} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand eventuell bitte sagen nach welcher Regelung das hier stattgefunden hat ?

20.07.2013, 16:01

dastrian

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Du kannst $\begin{eqnarray*} {1 \over x-x_0} \end{eqnarray*}$ einfach als Vorfaktor verstehen, der vor der Reihe steht.
Als solchen darf man ihn in die Reihe hineinziehen, und die Glieder der neuen Reihe sind dann
$\begin{eqnarray*} {1 \over x-x_0} {(-1)^k (x-x_0)^{2k} \over (2k)!} = {(-1)^k (x-x_0)^{2k-1} \over (2k)!} \end{eqnarray*}$

24.07.2013, 00:20

Martin1

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Guten Abend Dastrian,

also betrachte ich (x-x0) als Konstanten Faktor und kann ihn somit herausziehen bzw. sofern notwendig wie hier hineinziehen. Das ist bei Reihen nur erlaubt wenn sie komplett aus einem Produkt besteht oder?

mfg

24.07.2013, 00:54

dastrian

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Moin Martin!

Was meinst du, dass eine Reihe komplett aus einem Produkt besteht?

Ja, man betrachtet beim Auswerten der Reihe (x-x_0) als konstanten Faktor, denn: x_0 ist ja ohnehin vorgegeben und dem jeweiligen x wird eben durch eine bestimmte Vorschrift, namentlich
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{cos(x-x_{0})-1) }{x-x_{0}} \end{eqnarray*}$
der Wert f(x) zugeordet. Und um für ein bestimmtes x diesen Wert zu berechnen, hantiert man mit (x-x_0) als gegebenen Faktor.

Weiter gilt für beliebige konvergente Reihen mit Koeffiziente a_n und für beliebige b:
$\begin{eqnarray*} b \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty b \cdot a_n \end{eqnarray*}$

24.07.2013, 01:21

Martin1

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Ich meine damit das keine Addition außerhalb einer Klammer stattfindet.

Gegeben sei z.b. folgende Reihe. 2k+4k*6. Wir nehmen an sie sei konvergent (Um nur ein Verständnis bzgl. meinen Problems zu bekommen). Jetzt dürfte ich die 2 vorne nicht herausziehen oder ? Jedoch wäre ich in der Lage die Reihe erst nach dem ich diese trenne in Reihe 2k + Reihe 4k*6 in der Lage die Konstante 2 herauszuziehen.

Ich wiederhole. Mir geht es gerade nur um das Verständnis (Ich weiss, es ist ein schreckliches Beispiel).

Im übrigen möchte ich mich noch einmal herzlich bedanken für deine Hilfsbereitschaft!

24.07.2013, 01:29

dastrian

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Gerne! Und du hast das schon richtig verstanden! (Auch wenn ich Zahnschmerzen bekomm davon, dass ich zustimme, dass obige Reihe konvergiert Augenzwinkern

)

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