Orthogonale Basis Standard-Skalarprodukt

19.07.2013, 06:38	JayTex	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Basis Standard-Skalarprodukt Hallo, ich soll für die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & -36 & 0 \\ -36 & 23 & 0 \\ 0 & 0 & -50 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine orthogonale Basis aus Eigenvektoren bestimmen (bezüglich Standard-Skalarprodukt). Soweit auch erst mal kein Problem. Die Eigenwerte sind 50, -25 und -50 und die dazugehörigen orthogonalen Eigenvektoren: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -3\alpha \\ 4\alpha \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4\beta \\ 3\beta \\ 0 \end{pmatrix},<br /> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \gamma \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun soll die Basis aber so gewählt sein, dass folgenden Gleichung gilt: [attach]30985[/attach] Ich befürchte da gibt es irgendeinen Trick, der mir leider nicht klar ist und wie ich das ganze Zeichnen soll ist mir auch noch ein Rätsel.
19.07.2013, 07:17	JayTex	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich befürchte mal, dass 0 nie rauskommen wird. Wenn ich den dritten Eigenvektor benutze komme ich auf $\begin{eqnarray} -50\gamma^2 \Rightarrow \gamma = \sqrt[2]{2}/10 \end{eqnarray}$ mit Ergebnis -1. Mit dem ersten Eigenvektor auf $\begin{eqnarray} 514\alpha^2 \Rightarrow \alpha = \sqrt[2]{1/514} \end{eqnarray}$ mit Ergebnis 1. und mit dem zweiten Eigenvektor auf $\begin{eqnarray} 175\beta^2 \Rightarrow \beta = \sqrt[2]{7}/35 \end{eqnarray*}$ mit dem Ergebnis 1.
19.07.2013, 08:53	JayTex	Auf diesen Beitrag antworten »
oje ein wenig verrechnet. richtig müsste sein $\begin{eqnarray} 1250 \alpha^2 \Rightarrow 1/(25\sqrt[2]{2}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -625 * \beta^2 \Rightarrow 1/25 \end{eqnarray*}$
19.07.2013, 09:57	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich habe jetzt nicht alles nachgerechnet, aber: $\begin{eqnarray} Ich befürchte mal, dass 0 nie rauskommen wird. \end{eqnarray}$ Na und? es soll einfach jeder der Werte der herauskommt entweder 1, oder -1 oder 0 sein. Da steht nichts davon, dass jeder dieser Werte auftauchen muss. Du hast dich aber dennoch irgendwo vertan, denn eigentlich müsstest du 2 mal -1 und einmal +1 haben, da 2 deiner Eigenwerte negativ sind (zumindest wenn das im Ausgangsposts stimmt).
19.07.2013, 09:59	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte das hier zitieren: "Ich befürchte mal, dass 0 nie rauskommen wird."
19.07.2013, 10:39	JayTex	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja hast recht kommt 2 mal -1 und einmal 1 raus. Hättest du vielleicht noch einen Tipp zur grafischen Darstellung von b) ich geh mal davon aus, dass man einfach irgendeinen zusammenhang erkennen sollte, statt einfach nur werte durchprobieren. Die Basisvektoren sind nun $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \sqrt{2}/10 \end{pmatrix},<br /> \begin{pmatrix} 4/25 \\ 3/25 \\ 0 \end{pmatrix},<br /> \begin{pmatrix} -3/(25\sqrt{2}) \\ 4/(25\sqrt{2}) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
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