Integration einer Funktion

19.07.2013, 11:59

Kimyaci

Integration einer Funktion

Ich muss folgende Funktion (durch partielle Integration) lösen:

$\begin{eqnarray*} F = \int (x+1)^2 \ ln \ (x) \ dx \end{eqnarray*}$

Ich merke aber, dass ich hier die Substitution auch benötige. Wie fang ich da am besten an?

19.07.2013, 12:10

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integration einer Funktion
Mach erst mal die partielle Integration, damit das ln(x) verschwindet. Die Notwendigkeit einer Substitution sehe ich aber noch nicht.

19.07.2013, 12:19

Kimyaci

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay;

$\begin{eqnarray*} u = ln(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u' = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'= (x+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v = \int (x+1)^2 \ dx \end{eqnarray*}$

Um v zu berechnen müsste ich doch jetzt mit Substitution ansetzen oder sehe ich da was falsch?

19.07.2013, 12:51

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, das würde gehen, du kannst aber auch einfach (x+1)² ausmultiplizieren. smile

19.07.2013, 13:10

Kimyaci

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach stimmt, binomische Formel.

$\begin{eqnarray*} v = \int (x+1)^2 \ dx = \int (x^2 + 2x + 1) \ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v = \int x^2 \ dx + \int 2x \ dx + \int \ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v = \frac{1}{3} x^3 + x^2 + x \end{eqnarray*}$

Und nun ganz einfach partiell integrieren?

$\begin{eqnarray*} F = ln (x) \cdot (\frac{1}{3} x^3 + x^2 + x) - \int \left( \frac{1}{x} \cdot (\frac{1}{3} x^3 + x^2 + x) \right) \ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F =\frac{1}{3} x^3 ln (x) + x^2 ln (x) + x ln (x) - \int \left( \frac{1}{3} x^2 + x + 1 \right) \ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F =\frac{1}{3} x^3 ln (x) + x^2 ln (x) + x ln (x) - \frac{1}{9} x^3 - \frac{1}{2} x^2 - x + C \end{eqnarray*}$

Habs jetzt auch in einen online Rechner eingegeben, scheint wohl zu stimmen. Danke! Freude

19.07.2013, 13:52

Rabbi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kimyaci
Okay;

$\begin{eqnarray*} u = ln(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u' = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'= (x+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v = \int (x+1)^2 \ dx \end{eqnarray*}$
...

Obiges ist ziemlich umständlich ! unglücklich

Dagegen ist

$\begin{eqnarray*} \mathrm du=\ln(x)\,\mathrm dx \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} v&=&(x+1)^2\\\mathrm dv&=&2(x+1) \end{eqnarray*}$

einfacher.

Wink

19.07.2013, 13:55

Kimyaci

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Obiges ist leider nicht zielführend !

Und warum nicht?

Es kommt doch das richtige Ergebnis heraus.

19.07.2013, 15:29

Kimyaci

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathrm du=\ln(x)\,\mathrm dx \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} u = ln(x) \end{eqnarray*}$ ist, wäre es nicht:

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du \cdot x= dx \end{eqnarray*}$

Oder übersehe ich gerade etwas?

19.07.2013, 15:32

yoyooyooyo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kimyaci

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathrm du=\ln(x)\,\mathrm dx \end{eqnarray*}$

Das ist nicht das was er gemeint hat, wobei deine genannte Subs.dann auf ein Integral mit e^u hinausläuft. Wobei

19.07.2013, 15:38

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Äh, falls das nicht klar wurde: ich will überhaupt nicht substituieren. Man kommt ausschließlich mit der partiellen Integration aus. geschockt

19.07.2013, 15:39

Kimyaci

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab auch nur deshalb nachgefragt, da Rabbi sagte, dass die partielle Integration hier nicht "zielführend sein" (bzw. nach dem Edit dann "umständlich").

19.07.2013, 15:56

yoyooyooyo

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wie klarsoweit bereits erwähnt hatte ist ausmultiplizieren eigentlich der ,,sofort ins Auge springende kürzeste Weg".

19.07.2013, 16:02

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kimyaci
Ich hab auch nur deshalb nachgefragt, da Rabbi sagte, dass die partielle Integration hier nicht "zielführend sein" (bzw. nach dem Edit dann "umständlich").

Warum er das so sieht bzw. seine Aussage nachträglich abschwächt, weiß ich nicht. verwirrt

Für mich ist eigentlich der Thread erledigt. Leider mußte nochmal nachgekartet werden.

Neue Frage »

Antworten »

Integration einer Funktion

Verwandte Themen