Weingartenabbildung: Mittlerekrümmung / Gausskrümmung

19.07.2013, 17:05	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Weingartenabbildung: Mittlerekrümmung / Gausskrümmung Meine Frage: Hallo Leute, ich habe folgendes Problem: Ich habe in einer Aufgabe die Weingartenabbildung bestimmt, diese war: $\begin{eqnarray} W = \frac{1}{(1+y^2)^{\frac{3}{2} }} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1+y^2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun sollte man die Gausskrümmung bestimmen. Diese ist ja: $\begin{eqnarray} K = \kappa_1 \cdot \kappa_2 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \kappa_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \kappa_2 \end{eqnarray}$ die Eigenwerte von W sind. Da W aber nicht in Diagonalgestalt ist, kann ich sie nicht direkt ablesen, also verwende ich: $\begin{eqnarray} K = \frac{det(h)}{det(g)} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} g,h \end{eqnarray}$ die erste und zweite Fundamentalform ist. Also funktioniert alles. So nun soll ich auch die Mittlere Krümmung bestimmen: Für diese gilt ja: $\begin{eqnarray} H = \frac{1}{2} (\kappa_1 + \kappa_2) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}Spur(W) \end{eqnarray}$ Nun die Frage gilt dies mit der Spur jetzt auch für beliebige Weingartenabbildungen, also so wie die oben? Ich denke nicht, da ja $\begin{eqnarray} \kappa_1 , \kappa_2 \end{eqnarray}$ nicht auf der Diagonalen sind! Ich muss also auch hier eine andere Formel: z.b. $\begin{eqnarray} H = \frac{h_{11}g_{22}-2g_{12}h_{12}+h_{22}g_{11}}{2(det(g))} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: stimmt meine Annahme? Ich kann die Eigenwerte ja nur ablesen, wenn die Weingartenabbildung in Diag.form ist. Danke für die Hilfe! (ps: morgen ist Klausur ) Die Mittlere Krümmung ist 0 . (kommt aber auch bei der Spur-Formel schon raus )
19.07.2013, 17:11	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Weingartenabbildung: Mittlerekrümmung / Gausskrümmung Die Determinante einer Matrix ist das Produkt ihrer Eigenwerte Die Gauß-Krümmung ist damit immer die Determinante der Weingarten-Abbildung (egal, wie die Matrix aussieht) und die mittlere Krümmung immer die halbe Spur. Edit: Übrigens steht deine Frage unter "Meine Ideen:" und deine Idee unter "Meine Frage:"
19.07.2013, 21:29	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Weingartenabbildung: Mittlerekrümmung / Gausskrümmung Vielleicht weil meine Ideen so fragwürdig sind

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »