Numerische messbare Abbildung = abzählbare Summe von Indikatorfunktionen?

19.07.2013, 17:18	dastrian	Auf diesen Beitrag antworten »
Numerische messbare Abbildung = abzählbare Summe von Indikatorfunktionen? Hallo liebe Leute, ich steh wohl mal wieder auf der Leitung: In Klenke: Wahscheinlichkeitstheorie steht auf Seite 40 der Satz 1.96., dessen Teil b) ich für offensichtlich falsch (!) halte. Zu sehen ist der Satz in Google Books http://books.google.de/books?id=bmy89K9V...epage&q&f=false Der Satz besagt, dass eine messbare Abbildung f von einem abstrakten Messraum nach $\begin{eqnarray} [0, \infty ] \end{eqnarray}$ automatisch die folgende Form hat: $\begin{eqnarray} f = \sum_{n=1}^\infty a_i \textbf{1}_{A_i} \end{eqnarray}$ Aber das stimmt doch nicht, wenn f einfach die Identität auf $\begin{eqnarray} [0, \infty ] \end{eqnarray}$ ist, oder??? (Wenn das Intervall ganz kanonisch durch die Einschränkung des Lebesgue-Maßes und Erweiterung nach unendlich zum Maßraum wird) Wo liegt mein Fehler? Bin für jede Hilfe dankbar!
19.07.2013, 18:15	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Numerische messbare Abbildung = abzählbare Summe von Indikatorfunktionen? Die Aussage stimmt durchaus. Du stellst dir die $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ vielleicht als disjunkte Intervalle vor, aber so müssen die Mengen keineswegs aussehen. Der zentrale Schritt ist das Bilden der Teleskopsumme $\begin{eqnarray} f=f_0+\sum_{n=1}^\infty(f_n-f_{n-1}) \end{eqnarray}$ (wobei die Konvergenz punktweise zu verstehen ist). In dieser Reihe werden ja nur Elementarfunktionen summiert.
19.07.2013, 18:49	dastrian	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Numerische messbare Abbildung = abzählbare Summe von Indikatorfunktionen? Hmmm... danke! Das dumme war, dass ich mit dem Beweis kein Problem habe (ich verstehe ihn und meine seine Richtigkeit einzusehen), aber trotzdem einfach nicht kapierte, wie das in meinem Gegenbeispiel sein kann: wenn die Identität auf $\begin{eqnarray} [0, \infty] \end{eqnarray}$ wirklich eine Summe von abzählbar vielen Teilmenge ist, dann kann man doch diese Mengeensumme in ihre disjunkten Teile zerlegen, und ich dachte, diese disjunkten Teile wären wieder abzählbar viele, aber es können ja durchaus überabzählbar viele sein... danke!!

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