Frage zu Ableitungen von Skalarprodukt bei DGL

19.07.2013, 18:19

hokuspokus

Frage zu Ableitungen von Skalarprodukt bei DGL

Meine Frage:
Hallo liebe Leute,

ich habe eine Frage zur Umformung vom Skalarprodukt. Die Ableitung kapiere ich ja noch, (also es wird nach Kettenregel abgeleitet), aber ich habe keine Ahnung wie dann die Umformung im nächsten Schritt gemacht wird. Könnte mir das jemand bitte mal erklären, wäre sehr nett.

Dankeschön schonmal,

tamtamtam

Meine Ideen:
Keine Ahnung.

19.07.2013, 18:24

Che Netzer

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RE: Frage zu Ableitungen von Skalarprodukt bei DGL

Zitat:

Original von hokuspokus
also es wird nach Kettenregel abgeleitet

Die Produktregel meinst du wohl.

Zitat:

aber ich habe keine Ahnung wie dann die Umformung im nächsten Schritt gemacht wird.

Aber du hast verstanden, wie $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ umgeschrieben wurde? Hier macht man genau dasselbe: $\begin{eqnarray*} \langle v,w\rangle=w^{\mathrm T}v=v^{\mathrm T}w \end{eqnarray*}$ angewandt auf $\begin{eqnarray*} v=e_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w=Ax \end{eqnarray*}$ bzw. auf $\begin{eqnarray*} v=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w=Ae_i \end{eqnarray*}$ .

19.07.2013, 18:59

konichiwo

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RE: Frage zu Ableitungen von Skalarprodukt bei DGL
Hi Che,

ok jetzt bin ich verwirrt, wie sollte denn die produktregel für dieses Skalarprodukt aussehen?
Da muss man doch nichts umformen, oder?

Meine nächste Frage wäre noch, wie man von der Ableitung des Skalarproduktes folgendes bildet. Schreibt man das Differential und y dann einfach als Skalarprodukt um, oder muss man schon von Anfang an y beachten?

Danke

19.07.2013, 19:05

Che Netzer

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RE: Frage zu Ableitungen von Skalarprodukt bei DGL
Wie hättest du dir denn die Ableitung des Skalarproduktes erklärt?
Vielleicht hilft es dir, wenn du kurz $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ für das Skalarprodukt schreibst und Vektoren $\begin{eqnarray*} u(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(t) \end{eqnarray*}$ einsetzt.
Dann kannst du
$\begin{align*} \frac\dd{\dd t}\langle u(t),v(t)\rangle&=\frac\dd{\dd t}\bigl(u(t)\cdot v(t)\bigr)=\frac\dd{\dd t}u(t)\cdot v(t)+u(t)\cdot\frac\dd{\dd t}v(t)\\&=u'(t)\cdot v(t)+u(t)\cdot v'(t)=\langle u'(t),v(t)\rangle+\langle u(t),v'(t)\rangle \end{align*}$
schreiben. (Edit: Wobei das natürlich erst bewiesen werden musste)

Und Die nun zu zeigende Aussage hast du eigentlich schon bewiesen.
Du musst nur $\begin{eqnarray*} f'(x)=x^{\mathrm T}(A^{\mathrm T}+A) \end{eqnarray*}$ einsetzen und mit derselben Regel wie oben das Produkt der beiden Vektoren in ein Skalarprodukt umschreiben.

19.07.2013, 19:27

dfaydf

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RE: Frage zu Ableitungen von Skalarprodukt bei DGL
Hi Che,

ok danke für die Antwort. Also heißt das, dass ich das Skalarprodukt einfach als Multiplikation verstehen darf? Würde meinem Verständnis nämlich sehr helfen.

Danke

19.07.2013, 19:29

Che Netzer

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RE: Frage zu Ableitungen von Skalarprodukt bei DGL
In gewissem Sinne, ja. Immerhin heißt es ja Skalarprodukt. In vielen Fällen verhält es sich genau wie das Produkt reeller Zahlen.
Du solltest allerdings aufpassen, dass du dich nicht zu sehr darauf verlässt, und im Hinterkopf behalten, wie es eigentlich definiert ist.

20.07.2013, 07:28

sgt

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RE: Frage zu Ableitungen von Skalarprodukt bei DGL
Ok, dankeschön Che, :-)

du hast mir echt geholfen.

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