Vollständige Induktion

20.07.2013, 13:39

Maths16

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Vollständige Induktion

Meine Frage:
Hallo ich habe gerade probleme bei einer Aufgabe:

Beweise die folgende Formel fur alle n Element N mit vollständiger Induktion:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k!*k = (n+1)!-1 \end{eqnarray*}$

für n = 1 wahr

1 = 1

Induktionsannahme:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n 1!*1+2!*2+....+ n!*n = (n+1)!-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1}1!*1+2!*2+....+(n+1)!-1+(n+1)!*n = (n+2)!-1 \end{eqnarray*}$

WIe forme ich genau die linke seite um ,dass ich die rechte Seite raus bekomm?

Meine Ideen:
gepostet

20.07.2013, 13:57

alterHund

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bleib in den Summen beim k;

für den Übergang von n auf n+1 kommt (n+1)!(n+1) hinzu;

nun klammere aus und bedenke wie die Fakultät definiert ist.

20.07.2013, 14:04

Maths16

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Ich hab das leider nicht so gut verstanden ?

Wo liegt denn genau mein Fehler ?

20.07.2013, 14:07

alterHund

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was ergibt (n+1)! - 1 + (n+1)!(n+1) ? letzteres ist der hinzukommende Summand

20.07.2013, 14:35

Maths16

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(n+1)! kann man doch umschreiben als n!*(n+1) oder?

20.07.2013, 14:38

alterHund

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ja, und?

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20.07.2013, 14:42

Maths16

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(n+1)

Wieso kommt das dazu?

Das verstehe ich nicht.

20.07.2013, 14:46

alterHund

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der allgemeine Summand ist k!*k, wenn die Summe bis n+1 läuft statt bis n kommt (n+1)!(n+1) hinzu
zum
induktionvorausgesetztem Wert für Summation bis n

20.07.2013, 14:51

Maths16

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Ah stimmt da hatte ich einen fehler gemacht.

Jetzt habe ich es ein wenig vereinfacht und das stehen:

$\begin{eqnarray*} (n+1)!-1+n!*(n+1)^2 =(n+2)!-1 \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich weiter vor?

20.07.2013, 14:58

alterHund

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stimmt sogar,
aber wie dann (n+2)! - 1 herauskomt hast Du
nicht gezeigt;
Du
aus mußt (n+1)! - 1 + (n+1)!*(n+1)
die (n+1)!
ausklammern

20.07.2013, 15:10

Maths16

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(n+1)!*(1-1/(n+1)! +n!*(n+1)^3/(n+1)!

Richtig ausgeklammert?

20.07.2013, 15:22

alterHund

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auweh auweh, Du liebst es kompliziert, die -1 nicht ausklammern

20.07.2013, 15:29

Maths16

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Oh man jetzt weiß ich auch nicht mehr weiter ?

20.07.2013, 15:32

alterHund

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(n+1)! - 1 + (n+1)!(n+1) = (n+1)!( 1 + (n+1)) - 1

den Rest schaffst Du aber

20.07.2013, 15:48

Maths16

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Nur einen kleinen Tipp , wie soll ich als nächstes Vorgehen ?

20.07.2013, 15:50

alterHund

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1 + n + 1 = ?
(n+1)!*(n+2) = ?

20.07.2013, 16:16

Maths16

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(n+1)!( 1 + (n+1)) - 1

Kannst du mir zuerst einmal erklären wieder auf diese Vereinfachung gekommen bist?
Das verstehe ich nicht.

20.07.2013, 16:27

alterHund

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LOL Hammer

20.07.2013, 18:17

Maths16

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Ok nochmal sauber aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} (n+1)!( 1 + (n+1)) - 1 = (n+2)!-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)!*(2+n)-1 = (n+2)!-1 \end{eqnarray*}$

Aber ich bekomme immer noch nicht ganz das gleiche raus , auf beiden Seiten.

Hast du noch einen tipp für mich?

20.07.2013, 18:28

Gast11022013

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Wie alterHund ja schon sagte, solltest du dir mal angucken wie die Fakultät definiert ist.

$\begin{eqnarray*} n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot\cdot\cdot3\cdot 2\cdot 1 \end{eqnarray*}$

Auf deiner linken Seite steht nun:

$\begin{eqnarray*} (n+1)!(n+2)-1 \end{eqnarray*}$

Wenn du $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$ nun mal ausschreibst, hast du ja:

$\begin{eqnarray*} (n+1)\cdot n\cdot (n-1) \cdot\cdot\cdot3\cdot 2\cdot 1 \cdot (n+2)-1 \end{eqnarray*}$

Siehst du es nun?

20.07.2013, 18:52

alterHund

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$\begin{eqnarray*} &\text{wenn Du }\\&\text{statt~zu~}(n+1)!-1\text{~die~}(n+1)!(n+1)\\&\text{zu~adieren}\\&\text{in~die~Formel~}\sum\limits_{k=1}^m k!k=(m+1)!-1\\&\text{das~}n+1~\text{für~}m\text{~einsetzt~}\\&\text{ergibt~das~auch~}(n+2)!-1\\&\text{was~zu~beweisen~war} \end{eqnarray*}$

20.07.2013, 19:11

Maths16

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Wenn ich deinen Ansatz gmasterflash sehe , dann hatte ich meinem geposteten Ansatz die Induktion schon bewiesen oder ?

20.07.2013, 19:24

alterHund

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nein,
Dein erstes Posting, letzte Formelzeile, kann, mit gutem Willen, nur als Ansatz gesehen werden -
erst
mit der Umformung, nach der Du ja gefragt hast, wäre es bewiesen gewesen.

20.07.2013, 19:41

Maths16

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$\begin{eqnarray*} (n+1)*n*(n-1)*(n-2)...*(2+n)-1 = (n+2)*n*(n-2) -1 \end{eqnarray*}$

Hier habe ich das nach meinem letzten einsatz etwas umgeformt .

Das ist doch fast das gleiche alter hund oder ?

20.07.2013, 19:55

alterHund

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diese Gleichung stimmt nicht.
Ich
gebe auf. Ich hoffe, Du hast meine Darlegung wenigstens etwa verstanden.

20.07.2013, 20:06

Maths16

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Was ist daran falsch ?

Ich will es einfach verstehen.

20.07.2013, 20:28

alterHund

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adier mal recht und links die 1 und streich dann beiderseite die gemeinsamen Faktoren

20.07.2013, 21:54

Maths16

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Dann hätte ich das stehen:

(n+1)*n*(n-1)*(n-2)...*(2+n) = (n+2)*n*(n-2)

Wenn ich auf beiden seiten +1 addiere habe ich das rausbekommen .

Stimmt das ?

Aber irgendwie wirkt das auf mich falsch.

20.07.2013, 21:58

alterHund

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ja, und jetzt siehst Du doch daß die Gleichung nicht richtig ist, hoffe ich.

20.07.2013, 22:31

Maths16

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Zitat:

Original von Maths16
Ok nochmal sauber aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} (n+1)!( 1 + (n+1)) - 1 = (n+2)!-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)!*(2+n)-1 = (n+2)!-1 \end{eqnarray*}$

Aber ich bekomme immer noch nicht ganz das gleiche raus , auf beiden Seiten.

Hast du noch einen tipp für mich?

Ich probiers nochmal:

$\begin{eqnarray*} n!*(n+1)*(2+n)-1 = (n+2)!-1 \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich nach dieser Vereinffachung genau weiter vor?

Ich glaube wir müssen schritt für schritt vorgehen.

21.07.2013, 00:32

Helferlein

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Wie schon in zig anderen Beiträgen von Dir: Eigenarbeit ist gefragt.
Alterhund hatte schon sehr viel Geduld mit Dir, aber an dieser Stelle beende ich die Sache.
Als Hochschüler solltest Du langsam gelernt haben, dass man nicht alles haarklein erklärt bekommt, sondern auch mal eigene Ideen entwickeln und vortragen muss.

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