Extremstellen einer Funktion mit mehreren Veränderlichen / partielle Ableitung

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Borbo Auf diesen Beitrag antworten »
Extremstellen einer Funktion mit mehreren Veränderlichen / partielle Ableitung
Meine Frage:
Hallo,
ich schreibe bald eine Klausur nach. Jedoch haben sich die Themen im Vergleich zum letzten Semester etwas verändert.
Ich rechne hier gerade ein paar Übungsaufgaben zu partiellen Ableitungen durch. Aber ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich die lokalen Extrema der Funktion bestimmen soll.
Zum Beispiel bei folgender Aufgabe:
Bestimmen sie für die Funktion den Gradientenvektor und die Hessematrix der partiellen Ableitungen. Bestimmen sie außerdem die lokalen Extrema der Funktion.

Meine Ideen:
Die partiellen Ableitungen lauten ja, wenn ich mich nicht verrechnet habe:
fx(x,y)= 2x-2
fy(x,y)= 2y+2
fxx(x,y)= 2
fyy(x,y)= 2
fxy und fyx = 0
Der Gradientenvektor ist damit und die Hessematrix müsste so aussehen:
.
Ich weiß natürlich wie man Extrema bei Funktionen mit einer veränderlichen berechnet. Aber ich habe im Moment keine Idee, wie das hier funktioniert.
Ich habe auch schon in Büchern und im Internet gesucht. Aber dort steht das meistens immer so kompliziert formuliert. Am besten kann ich sowas immer an einem Beispiel nachvollziehen.

Vielen Dank!
Gruß
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Überprüf nochmal deine partiellen Ableitungen, die stimmen nicht (Vorzeichenfehler).
Borbo Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja klar...
Liegt an der Hitze^^
fx(x,y)= - 2x-2
fy(x,y)= - 2y+2
fxx(x,y)= - 2
fyy(x,y)= - 2
fxy und fyx = 0

Und der Gradientenvektor ist dann auch

Danke!

Aber ich hab trotzdem keine Idee, wie das mit den Extrema funktioniert.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt leider immer noch nicht.
Borbo Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man, immer diese Kleinigkeiten...
Es wird die +/- 1 ja dann mit -2 ausgerechnet.

Also nochmal:
fx(x,y)= - 2x+2
fy(x,y)= - 2y-2
fxx(x,y)= - 2
fyy(x,y)= - 2
fxy und fyx = 0

und Grad F = .

So hoffentlich ist es jetzt richtig.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, richtig. Freude
 
 
Borbo Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir denn keiner bei den lokalen Extrema helfen?
Ich will ja keine vollständige Lösung, sondern nur ganz allgemein wissen wie ich das bei Funktionen mit zwei veränderlichen machen muss.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die Jacobi-Matrix bestimmen (die ist hier gleich dem transponierten Gradienten) und diese dann Nullsetzen. Damit erhältst du die kritischen Punkte der Funktion. Mithilfe der Hessematrix kriegst du dann raus, ob diese Punkte wirklich Extrempunkte sind, und wenn ja, welcher Art (Maximum oder Minimum).
Borbo Auf diesen Beitrag antworten »

Also:
Die Jacobi-Matrix bzw. der transponierte Gradient ist ja
grad Ftransponiert = (2x-2 , 2y+2)
Jetzt ist ja die Frage wann Grad Ftransponiert = (0,0) ist.
Dann muss ja auch 2x-2 und 2y+2 = 0 sein. Dies ist bei x=1 und y=-1 der Fall.
Es kann nur an der Stelle (1, -1) ein Extrema vorliegen.
Jetzt rechnet man doch die Determinante der Hessematrix aus oder?
Das müsste ja dann det Hf = 2*2 - 0*0 = 4 sein.
4>0, also schonmal kein Sattelpunkt.
Jetzt guckt man sich doch die 1. Zeile und 1. Spalte der Hessematrix an. Dort steht eine positive 2. Und positiv bedeutet doch ein Minimum.

Die Funktion hat ein lokales Extrema und zwar ein Minimum an der Stelle (1, -1).

Ist das so korrekt? Hoffentlich Ja smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Den kritischen Punkt hast du richtig berechnet. Aber deine Hessematrix stimmt nicht.
Borbo Auf diesen Beitrag antworten »

Ach man. Was ist denn bloß los? Hammer

Da hab ich wieder die falschen Werte genommen.

Die zweiten Ableitungen sind ja -2, -2 und 0

Daher ist die Hessematrix an der 1. Stelle negativ und deshalb ist dort ein Maximum.

Also ist an der Stelle (-1, 1) ein lokales Maximum.

Jetzt aber?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt stimmt es. Freude
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