Zeilen linear abhängig |
| 20.07.2013, 18:19 | Matrixforscher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Zeilen linear abhängig Hallo Forum 
Ich habe eine Frage zu einer 3 mal 3 Matrix Es geht um Eigenwerte und Eigenvektoren Beim Rechnen einiger Übungsaufgaben habe ich folgendes bemerkt zB Hier habe ich den doppelten Eigenwert 2 Wenn ich das jetzt zur Eigenvektorberechnung einsetze bekomme ich Jetzt sieht man,daß alle 3 Zeilen linear abhängig sind Immer wenn ich das habe gibt es 2 Eigenvektoren Wenn die 3 Zeilen nicht linear abhängig sind bekomme ich nur einen Eigenvektor Ist das immer so? Würde mich über Antworten freuen
Meine Ideen: Kann ich nicht beantworten |
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| 20.07.2013, 18:41 | dastrian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Zeilen linear abhängig
Vorsicht: Bei dem Begriff linear abhängig wird nicht spezifiziert, "wie sehr" sie abhängig sind. Ein allgemeines Beispiel: Wenn k ein Eigenwert der n x n-Matrix A ist, dann hat die Matrix A-kI (wobei I die Einheitsmatrix bezeichnet) linear abhängige Zeilen. Das gilt, egal wie groß die DImension des EIgenraums ist. (Deswegen ist deine letzte Bemerkung auch falsch.) Du schreibst, dass "alle 3 Zeilen" linear unabhängig sind und meinstest wohl: alle drei spannen denselben eindimensionalen Unterraum auf. Allgemein kann man sagen: Ist m die größte Anzahl unabhängiger Zeilenvektoren in A-kI, so ist die Dimension des Eigenraums n-m. (Denn: das Bild der Matrix A-kI ist m-dimensional und die Dimensionen von Kern und Bild einer linearen Abbildung ergeben addiert die Dimension des Ausgangsraums). |
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| 20.07.2013, 19:12 | Matrixforscher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Erst mal Danke für die Anwort
Also ist meine Vermutung richtig Wenn die drei Zeilen nur eine Dimension haben gilt 3-1=2 also 2 Eigenvektoren 
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| 20.07.2013, 20:01 | dastrian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau! Beziehungsweise (Haarspaltereien sind in der Mathematik ja schon wichtig! :p) man hat einen zweidimensionalen Eigenraum, die beiden Eigenvektoren sind keineswegs eindeutig (aber der Raum, den sie aufspannen, ist es). |
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