Klassifizierung einer DGL und Lösung eines AWPs

20.07.2013, 21:25

Studi92

Klassifizierung einer DGL und Lösung eines AWPs

Hallo Leute,
ich habe ein Problem bei einer Aufgabe.

Es soll folgende DGL klassifiziert und das Anfangswertproblem gelöst werden.

$\begin{eqnarray*} y'=sinx^2-\frac{1}{x}y ~~mit~~ y(1)=0 \end{eqnarray*}$

Ich habe das jetzt über die Variation der Konstanten versucht mit der homogenen Gleichung

$\begin{eqnarray*} y'+\frac{1}{x}y=0 \end{eqnarray*}$

und bin über Trennung der Variablen und Integration $\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{y} dy =\int - \frac{1}{x}dx \end{eqnarray*}$

auf $\begin{eqnarray*} y=-x e^c \end{eqnarray*}$ und dann über $\begin{eqnarray*} e^c=D \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} y_H=-D*x~~ D \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Dann die Variation der Konstanten mit $\begin{eqnarray*} y_p=-D(x)~ x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_p'=-D' x-D \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die Ursprungs DGL

$\begin{eqnarray*} -D'x-D+\frac{1}{x}Dx=sinx^2 \end{eqnarray*}$

führt mich auf $\begin{eqnarray*} D'=-\frac{sinx^2}{x} \end{eqnarray*}$ und die Integration dessen um auf D zu kommen würde mich zur Sine Funktion führen.
Deshalb vermute ich das dieser Lösungsweg falsch ist, welche anderen Möglichkeiten gibt es?

Was versteht man konkret unter der Klassifizierung? Ich würde jetzt einfach sagen, dass es eine inhomogen lineare Differentialgleichung 1. Grades ist oder liege ich da falsch?

Ich würde mich über Hilfe sehr freuen! Wink

Vielen Dank im Voraus und Gruß

21.07.2013, 00:43

original

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RE: Klassifizierung einer DGL und Lösung eines AWPs

Zitat:

Original von Studi92
..
und Integration $\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{y} dy =\int - \frac{1}{x}dx \end{eqnarray*}$

auf $\begin{eqnarray*} y=-x e^c \end{eqnarray*}$ unglücklich

->
mach doch mal die Probe .. ->

$\begin{eqnarray*} y'+\frac{1}{x}y=0 \end{eqnarray*}$

dann kommst du wohl schnell dahinter,

.. -> dass du das nochmal ganz neu überkegen solltest :
=>

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{y} dy =\int - \frac{1}{x}dx \end{eqnarray*}$ Freude

=> y = ??

.

21.07.2013, 00:59

Studi92

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Hey!
Ich verstehe leider nicht genau wie du das meinst.

Ich bin doch von
$\begin{eqnarray*} y'+\frac{1}{x}y=0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} y'=-\frac{1}{x}y \end{eqnarray*}$ gekommen und damit auf
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x}y \end{eqnarray*}$ und somit auf $\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{y} dy =\int - \frac{1}{x}dx \end{eqnarray*}$

Das führt mich dann doch auf $\begin{eqnarray*} ln(y)=-ln(x)+C \end{eqnarray*}$ und weiter zu $\begin{eqnarray*} e^{ln(y)}=e^{-ln(x)+C} \end{eqnarray*}$
das wäre dann doch $\begin{eqnarray*} y=-e^c*x \end{eqnarray*}$ oder ist der Fehler schon viel weiter vorne?

Vielen Dank im Voraus! Wink

21.07.2013, 01:10

original

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Zitat:

Original von Studi92
..und somit auf $\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{y} dy =\int - \frac{1}{x}dx \end{eqnarray*}$

Das führt mich dann doch auf $\begin{eqnarray*} ln(y)=-ln(x)+C \end{eqnarray*}$

und weiter zu $\begin{eqnarray*} e^{ln(y)}=e^{-ln(x)+C} \end{eqnarray*}$ Freude

das wäre dann doch $\begin{eqnarray*} y=-e^c*x \end{eqnarray*}$ unglücklich

-> abgesehen davon, dass du Betragszeichen setzen solltest (zB ln|y| statt ln(y) usw..)
ist es bis hierhin richtig

aber dann: überlege nochmal : $\begin{eqnarray*} e^{-ln(x)}= ? \end{eqnarray*}$
also:
wie läuft das richtig mit dem blöden Minuszeichen? smile

ach ja - und dann noch kurz zur "Klassifizierung":

-> inhomogene lineare DGL erster Ordnung

21.07.2013, 11:48

Studi92

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Oh da hatte ich gar nicht dran gedacht.

Ich bin also auf

$\begin{eqnarray*} y=D* \frac{1}{x} \qquad D \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gekommen und über einsetzen dann auf $\begin{eqnarray*} D'=x*sinx^2 \end{eqnarray*}$ .
Die Integration führte mich auf $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}cos(x^2)+E \qquad E \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die allgemein Lösung hingeschrieben der Form $\begin{eqnarray*} y=y_H+y_P \end{eqnarray*}$ und bin auf
$\begin{eqnarray*} y=D*\frac{1}{x}-\frac{1}{2x}cos(x^2) \end{eqnarray*}$ gekommen.

Nun sollte ich ja das Anfangswertproblem lösen mit $\begin{eqnarray*} y(1)=0 \end{eqnarray*}$

Also somit $\begin{eqnarray*} 0=y(1)=D\frac{1}{1}-\frac{1}{2}cos(1) \end{eqnarray*}$

Das ist ja nicht weiter schlimm, aber wie soll ich ohne Taschenrechner denn cos(1) wissen?

Also komme ich auf $\begin{eqnarray*} D=\frac{cos(1)}{2} \end{eqnarray*}$

Könnte das richtig sein oder ist mir wieder ein Fehler unterlaufen? Wink

Vielen Dank!

22.07.2013, 14:21

Studi92

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Kann zufällig jemand mein Ergebnis bestätigen? Wink

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