Faltung konstant

20.07.2013, 22:55

jaid

Faltung konstant

Hi

Ich habe eine Frage zur Faltung.
Wenn ich F*G =c habe, also Faltung von zwei Zufallsvariabeln ist konstant.
Kann ich dann schliesssen, dass F und G konstant sind?
$\begin{eqnarray*} \int_\infty ^\infty \! f(x-y) g(y) \, dy =c \end{eqnarray*}$
Ableiten:
$\begin{eqnarray*} f(x-y) * g(y)=0 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt die Dichtefunktion g(x) = 0 und darum sollte G konstant sein und auch F.

Habe aber ein schlechtes Gefühl dabei. Habe ich einen Fehler gemacht?

20.07.2013, 23:04

Che Netzer

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RE: Faltung konstant
Nach welchen Regeln hast du denn die Ableitung gebildet? Hier ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein Parameter und nicht die obere Integrationsgrenze (und es taucht bei dir daher ein undefiniertes $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auf).

Auf keinen Fall kannst du folgern, dass beide Funktionen konstant sind. Wenn z.B. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konstant ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} f*g \end{eqnarray*}$ konstant (egal, was $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist).

Und in diesem Fall ist die Frage eigentlich sowieso überflüssig, denn eine Wahrscheinlichkeitsdichte (auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) ist nie konstant.

21.07.2013, 16:36

jaid

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Ok, hast recht. Für Dichtefunktionen macht das gar keinen Sinn. Kann man dann aber für Funktionen aus f*g konstant auf f oder g konstant schliessen?

Mir ist gerade eine andere Frage in den Sinn gekommen. Wenn ich eine Zufallsvariable X mit der eine Konstante z.B. 1 falte, verschiebt sich doch die Verteilungsfunktion um 1 nach rechts. Was aber passiert mit der Dichtefunktion?

21.07.2013, 16:44

Che Netzer

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Zitat:

Original von jaid
Ok, hast recht. Für Dichtefunktionen macht das gar keinen Sinn. Kann man dann aber für Funktionen aus f*g konstant auf f oder g konstant schliessen?

Nein, dazu hatte ich ja schon ein Gegenbeispiel gebracht.

Zitat:

Mir ist gerade eine andere Frage in den Sinn gekommen. Wenn ich eine Zufallsvariable X mit der eine Konstante z.B. 1 falte, verschiebt sich doch die Verteilungsfunktion um 1 nach rechts. Was aber passiert mit der Dichtefunktion?

D.h. du faltest eine reelle Funktion $\begin{eqnarray*} X\colon\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit einer konstanten Funktion? Wenn die integrierbar ist, dann ist die Faltung konstant und nimmt den Wert des Integrals von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ an.
Aber wie interpretierst du eine reelle Funktion als Zufallsvariable?

Überleg dir etwas genauer, was du womit falten solltest.
Wieso möchtest du zwei Zufallsvariablen falten? Wie soll das definiert sein?

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