Binomialverteilung

21.07.2013, 00:02	csaendra	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialverteilung Meine Frage: Hey! Also: Sei $\begin{eqnarray} p\in (0,1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_1,\dots ,X_n \end{eqnarray}$ unabhängig mit $\begin{eqnarray} P(X_i=0)=1-p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(X_i=1)=p\quad \forall i \end{eqnarray}$ . Zeige mithilfe erzeugender Funktionen, dass $\begin{eqnarray} S_n=X_1+\dots +X_n \end{eqnarray}$ binomialverteilt ist. Meine Ideen: Ich habe versucht die erzeugende Funktion $\begin{eqnarray} G_i \end{eqnarray}$ der Verteilung von $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ hinzuschreiben: $\begin{eqnarray} G_i(s)=\sum\limits_{k=0}^1P(\{X_i=k\})s^k\ =\ \sum\limits_{k=0}^1p_ks^k \end{eqnarray}$ Die Aufgabe erinnert mich an Münzwerfen (mit eventuell gezinkter Münze falls $\begin{eqnarray} p\neq 0,5 \end{eqnarray}$ ): $\begin{eqnarray} X_i=0 \end{eqnarray}$ wäre dann z.B. "Kopf" und $\begin{eqnarray} X_i=1 \end{eqnarray}$ "Zahl" oder so. $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ wäre dann die Anzahl der geworfenen "Zahlen". Aber ehrlich gesagt weiß ich nicht was ich machen muss... Könnt ihr mir helfen?
21.07.2013, 08:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Verwende den Satz: Wenn die Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X_1,X_2,\ldots,X_n \end{eqnarray}$ (mit nichtnegativen ganzzahligen Werten) unabhängig sind und die erzeugenden Funktionen $\begin{eqnarray} G_1,G_2,\ldots,G_n \end{eqnarray}$ besitzen, dann besitzt $\begin{eqnarray} X = X_1+X_2+\ldots+X_n \end{eqnarray}$ die erzeugende Funktion $\begin{eqnarray} G = G_1 \cdot G_2 \cdots G_n \end{eqnarray}$ . Die erzeugende Funktion von $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} G_i(s) = \sum_{k=0}^{\infty} P \left( X_i = k \right) \cdot s^k = ps + q \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} q=1-p \end{eqnarray}$ gesetzt wird. Was ist nach dem Satz also die erzeugende Funktion von $\begin{eqnarray} S_n = X_1+X_2+\ldots+X_n \end{eqnarray}$ ? Verwende dann den binomischen Lehrsatz, um die Verteilung von $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Hier soll hergeleitet werden, daß die Anzahl der Erfolge $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ in einer Bernoulli-Kette der Länge $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ binomialverteilt ist. $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ beschreibt die $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ -te Stufe der Bernoulli-Kette. Die Fragestellung kennst du sicher schon aus der Schule, wo die Formel in der Regel mit kombinatorischen Mitteln über einen Baum hergeleitet wird.

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