Prinzip! Konvergenz oder divergenz

21.07.2013, 15:35

taxi

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Konvergenz oder divergenz

Meine Frage:
Hallo hab gerade probleme bei dieser Aufgabe :

Entscheiden sie ob folgende reihe konvergiert oder divergiert.

Und überpfüfen sie ob absolute konvergenz vorliegt.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty (-1)^n*\frac{n}{n^2-1} \end{eqnarray*}$

Ich hab gedacht , das man das leibniz Kriterium anwenden kann.

Zuerst will ich überprüfen ob es eine Nullfolge ist.

Für lim ngegen unendlich geht es doch gegen 0 oder leute?

Meine Ideen:
gepostet

21.07.2013, 15:39

Che Netzer

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RE: Konvergenz oder divergenz
Was geht gegen Null? Um das leibniz-Kriterien musst du zwei bzw. drei Dinge überprüfen: Zunächst, ob die Summanden alternieren (1.). Dann ob ihre Beträge eine monotone (2.) Nullfolge (3.) bilden.

Wie sehr du das jeweils begründen musst (ob du die Konvergenz gegen Null von $\begin{eqnarray*} \frac n{n^2-1} \end{eqnarray*}$ einfach hinschreiben/behaupten darfst), hängt von eurer Vorlesung/dem Übungsleiter ab.
Vermutlich musst du diese Konvergenz aber nicht nochmals nachweisen.

21.07.2013, 15:39

yoyooyoyooy

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yo, exponent vom nennerpolynom wächst schneller als der zähler, deshalb geht er gegen 0 und ist im betrage nach eine monoton fallende nullfolge, was nach leibniz die konvergenz impliziert.

21.07.2013, 16:00

taxi

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Ich hab ja schon gezeigt das es sich um eine monoton fallende Nullfolge handelt.

Jetzt muss ich doch zeigen:

an >= an+1

Also :

n/(n^2-1) >= (n+1)/((n+1)^2-1)

n*(n+1)^2-1 > = n^2-1*(n+1)

$\begin{eqnarray*} n*(n^2 +2n +1) -1 >= n^2-n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^3+2n^2+n-1 >= n^2 -n +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^3+n^2+2n-2 >= 0 \end{eqnarray*}$

Stimmt es soweit?

21.07.2013, 16:07

Che Netzer

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Zitat:

Original von taxi
Ich hab ja schon gezeigt das es sich um eine monoton fallende Nullfolge handelt.

Jetzt muss ich doch zeigen:

an >= an+1

Du redest hier die ganze Zeit von "es", ohne zu sagen, was "es" ist. Ebenso erklärst du nicht, was an (bzw. $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ) sein soll.
Und wenn du schon gezeigt hast, dass "es" eine monoton fallende Nullfolge ist, brauchst du die Monotonie aber nicht nochmals nachzuweisen.

Zitat:

n*(n+1)^2-1 > = n^2-1*(n+1)

Hier fehlen Klammern, ...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} n*(n^2 +2n +1) -1 >= n^2-n+1 \end{eqnarray*}$

... was sich hier bemerkbar macht. Außerdem ist $\begin{eqnarray*} -(n+1)=-n-1\neq-n+1 \end{eqnarray*}$ .
Übrigens kannst du \ge im Code benutzen, um $\begin{eqnarray*} \ge \end{eqnarray*}$ zu erhalten.

Eigentlich wären auch ein paar begleitende Worte angebracht (Was machst du überhaupt?, woher kommen die Ungleichungen? etc.).

21.07.2013, 16:15

taxi

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Ich wollte sagen das die Reihe an monoton fallend ist.

Ich hoffe das ich mich nicht falsch ausgedrückt habe.

Bin ich damit dann fertig oder wie ?

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21.07.2013, 16:19

Che Netzer

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Nein, $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist keine Reihe.
Mit $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ bezeichnet man für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ein einzelnes Folgenglied.
Mit $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ bezeichnet man die Folge.
Und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ wäre eine Reihe.
Allerdings wäre noch zu definieren, was $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ überhaupt sein soll.

Und nein, du bist nicht fertig; deine Rechnung war wie gesagt falsch (achte auf Klammersetzung).
Und danach musst du ja noch überprüfen, ob die Reihe aus der Aufgabenstellung auch absolut konvergiert.

21.07.2013, 16:26

taxi

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Ich habe nochmal gerechnet und das raus:

$\begin{eqnarray*} n^2 +n +1 >= 0 \end{eqnarray*}$

Das müsste stimmen ?

21.07.2013, 16:29

Che Netzer

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Das sieht besser aus.

Was kannst du jetzt also folgern? Und kannst du etwas über die absolute Konvergenz aussagen?

21.07.2013, 16:34

taxi

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Ich kann folgern das die Folge konvergiert und auch absolut konvergiert .

Jetzt müsste ich doch irgendwie die gesamte Reihe betrachten oder?

21.07.2013, 16:36

Che Netzer

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Eine Folge kann nur konvergieren, nicht absolut konvergieren.
Du meinst wohl die Reihe. Aber wieso sollte die absolut konvergieren?

Und was meinst du mit "die gesamte Reihe betrachten"?

21.07.2013, 16:41

taxi

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Zitat:

Original von Che Netzer
Nein, $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist keine Reihe.
Mit $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ bezeichnet man für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ein einzelnes Folgenglied.
Mit $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ bezeichnet man die Folge.
Und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ wäre eine Reihe.
Allerdings wäre noch zu definieren, was $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ überhaupt sein soll.

Und nein, du bist nicht fertig; deine Rechnung war wie gesagt falsch (achte auf Klammersetzung).
Und danach musst du ja noch überprüfen, ob die Reihe aus der Aufgabenstellung auch absolut konvergiert.

Ich dachte das hasst du mit der deinem letzten satz gemeint .

Ok missverständnis.

Ja mit leibniz kann man ja nur die Konvergenz beweisen nicht die absolute Konvergenz . Stimmts?

21.07.2013, 16:45

Che Netzer

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Zitat:

Original von taxi
Ich dachte das hasst du mit der deinem letzten satz gemeint .

Erstaunt2

Zitat:

Ja mit leibniz kann man ja nur die Konvergenz beweisen nicht die absolute Konvergenz . Stimmts?

Genau, das Leibniz-Kriterium liefert dir keinerlei Aussage über absolute Konvergenz. Die musst du auf andere Weise treffen.

21.07.2013, 16:48

taxi

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WIe treffe ich das genau ?

kannst du mir einen tipp geben ?

Es ist ja nur eine übungsaufgabe

21.07.2013, 16:50

Che Netzer

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Ja, und eine Übungsaufgabe wird dir gestellt, damit du daran üben kannst Augenzwinkern

Augenzwinkern

Als erstes solltest du die Definition der absokuten Konvergenz aufschreiben:
Was müsste definitionsgemäß gelten, wenn
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty (-1)^n\frac{n}{n^2-1} \end{eqnarray*}$
absolut konvergieren soll?

21.07.2013, 16:55

taxi

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Hier die definition vom wiki:

Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. Das gilt sowohl für reellwertige als auch für komplexwertige Reihen. Da es umgekehrt Reihen gibt, die konvergent, aber nicht absolut konvergent sind (solche Reihen werden bedingt konvergent genannt), bildet die Menge der absolut konvergenten Reihen eine echte Teilmenge der Menge der konvergenten Reihen.
Manche Konvergenzkriterien für Reihen beweisen auch die absolute Konvergenz. Dazu gehören das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium.

Hiernach müsste die Reihe doch absolut konvergieren oder?

21.07.2013, 16:56

Iorek

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@taxi,

dir wurde bereits mehrfach und in aller Ausführlichkeit dargelegt, dass Eigenarbeit von dir gefragt ist. Sich 2 Minuten mit einem Hinweis zu beschäftigen und dann nach weitergehenden Tipps und Vorgehensweisen zu fragen fällt da nicht drunter, auch das wurde dir schon mehrfach gesagt. Damit wird auch dieser Thread geschlossen.

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