f,g selbstadjungiert, f-g nilpotent => f = g

21.07.2013, 19:43	DerStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
f,g selbstadjungiert, f-g nilpotent => f = g Meine Frage: Hallo die Aufgabe ist: Sei V ein euklidischer Vektorraum und seien f und g selbstadjungierte Endomorphismen von V, so dass f - g nilpotent ist. Zeige: f = g Meine Ideen: Da f-g nilpotent ist, existiert eine Basis B, s.d. die darstellende Matrix die Form $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 0 & a_2 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 0 & a_2 & ... & 0 & 0\\ & & & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 0 & a_n \\ 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ hat, wobei a1 bis an entweder 1 oder 0 ist. (Ist ja die Normalform eines nilpotenten Endomorphismus) Die Basis dazu ist so aus: $\begin{eqnarray} B = (v,(f-g)v,(f-g)^2 v, ..., w,(f-g)w, ...) \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt zeigen kann, dass diese Basis orthogonal ist, kann ich daraus durch Normierung der Basisvektoren eine Orthonormalbasis machen, s.d. die darstellde Matrix nur auf der 1. Nebendiagonale Werte ungleich 0 hat. Da f und g selbstadjungiert, ist es auf f-g und damit gilt für die darstellende Matrix in einer Orthonormalbasis: $\begin{eqnarray} M = M^{T} \end{eqnarray}$ Das würde aber, wenn M nur Einträge auf der 1. Nebendiagonale hat, implizieren, dass diese alle 0 sind => f-g wird durch Nullmatrix dargestellt => f = g Leider k schaffe ich es nicht zu zeigen, dass die oben genannte Basis orthogonal ist. Könnt ihr mir da weiterhelfen? Auch andere Lösungswege wären sehr hilfreich. Danke
21.07.2013, 19:50	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f,g selbstadjungiert, f-g nilpotent => f = g Wie habt ihr denn euklidische Vektorräume definiert? Müssen die bei euch automatisch endlichdimensional sein?
21.07.2013, 23:33	DerStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben einen euklidischen Vektorraum als einen $\begin{eqnarray} R^n \end{eqnarray}$ , dh endlich dimensional definiert. Gibt es denn unendlich dimensional euklidische Vektrorräume?
22.07.2013, 08:14	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man möchte, könnte man damit auch beliebige reelle Vektorräume mit Skalarprodukt bezeichnen. Aber gut, im Endlichdimensionalen ist das ganze einfacher. Du musst natürlich nur zeigen, dass selbstadjungierte nilpotente Endomorphismen (hier $\begin{eqnarray} f-g \end{eqnarray}$ ) Null sind. Und ihr habt sicher schon bewiesen, dass selbstadjungierte Endomorphismen diagonalisierbar sind – insbesondere stimmen algebraische und geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte überein. Und welche Eigenwerte kann ein nilpotenter Endomorphismus haben?

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