Automorphismengruppen von Graphen

21.07.2013, 21:23	quingel	Auf diesen Beitrag antworten »
Automorphismengruppen von Graphen Meine Frage: Hallo, leider hänge ich schon den ganzen Tag über diesem Thema und noch immer verstehe ich es nicht. Aufgabe ist folgende: (a) Bestimmen Sie die Bahn $\begin{eqnarray} a^{Aut(G)} \end{eqnarray}$ der Knoten a in der Automorphismengruppe Aut(G). (b) Ermitteln Sie die Anzahl der Elemente des Stabilisators Aut(G)a des Knotens a. (c) Bestimmen Sie die Anzahl aller Automorphismen des Graphen G. (d) Geben Sie ein Erzeugendensystem der Automorphismengruppe Aut(G) an. Graph ist angehangen. Mir liegen auch die Lösungen vor - aber leider fehlt mir der Weg dahin. Meine Ideen: zu a) Die Bahn ist: $\begin{eqnarray} a^{Aut(G)} = {a, b, c, d, f, g} \end{eqnarray}$ . Das verstehe ich, denn dies sind alle Knoten, die denselben Grad besitzen. zu b) Die Definition eines Stabilsators lautet: Gilt $\begin{eqnarray} x\in m \end{eqnarray}$ dann wird $\begin{eqnarray} Sx = \{ \sigma \in S\|\sigma(x)=x \} \end{eqnarray}$ Stabilisator von x in S genannt. Umgangssprachlich darf sich x nicht verändern und dann sind dies alle noch möglichen Permutationen. Hier fehlt mir leider absolut der Ansatz, um diese zu bilden. Die Lösung (auch angehangen) arbeitet mit den Elementen der Linksnebenklassen. Mir ist nicht klar wieso $\begin{eqnarray} b^{Aut(a)} = {b,f} \end{eqnarray}$ gilt. Müssten es nicht noch mehr Elemente sein? Und wie muss ich für eine Lösung rangehen? Ich würde mich über Hilfestellungen sehr freuen!
21.07.2013, 22:44	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Automorphismengruppen von Graphen Hallo quingel, Zu a): Es reicht nicht, einfach nur die Grade zu betrachten. Damit kannst Du nur zeigen, dass e und h nicht in der Bahn liegen können. Du musst auch zeigen, dass es wirklich Automorphismen gibt, die a auf b,c,d,f,g abbilden. Zu b): Ein Automorphismus, der a festlässt, muss auch e festlassen (warum!). Da b mit a und e verbunden ist, muss nun ein Automorphismus aus $\begin{eqnarray} {\rm Aut}(G)_a \end{eqnarray}$ auch b wieder auf einen Knoten, der mit a und e verbunden ist, abbilden. Das kann also nur b oder f sein. Es bleibt zu zeigen, dass es wirklich solche Automorphismen gibt. Dass $\begin{eqnarray} \|{\rm Aut}(G)_{a,b}\|=1 \end{eqnarray}$ ist, sieht man auf ähnliche Weise. Gruß Reksilat

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