Vollständige Induktion

22.07.2013, 01:01

Kimyaci

Vollständige Induktion

Ich will mittels vollständiger Induktion beweisen, dass die Multiplikation kommutativ ist (als Übungsaufgabe).

So weit wäre ich dann:

Satz: Für alle $\begin{eqnarray*} n,m \in \mathbb N: m \cdot 0 = 0 \cdot m \end{eqnarray*}$

Vielleicht eine Frage nebenbei, dürfte ich das auch folgendermaßen schreiben:

$\begin{eqnarray*} \forall n,m \in \mathbb N: m \cdot 0 = 0 \cdot m \end{eqnarray*}$

Will mich so ein wenig an die Symbole gewöhnen. Nun denn:

Beweis: Peano Axiom 5 (vollständige Induktion).

1. Schritt: $\begin{eqnarray*} 0 \in M \end{eqnarray*}$

Nun will ich zeigen:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{0 \cdot m} = m \cdot 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \ \ \ \ \ \ = ... \end{eqnarray*}$

0 * m ist ja die Definition der Multiplikation, die rechte Seite gilt es zu beweisen, dass es null ist. Nun:

Lemma: Für alle $\begin{eqnarray*} n \in M: n \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Beweis: (Induktion); $\begin{eqnarray*} M = \left\{ n \in M : n \cdot 0 = n \right\} \end{eqnarray*}$

1. Schritt: $\begin{eqnarray*} 0 \in M \end{eqnarray*}$ .

Nach Definition der Multiplikation ist:

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot m = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

2. Schritt: $\begin{eqnarray*} n \in M \Rightarrow n++ \in M \end{eqnarray*}$

Und hier hab ich meine Schwierigkeiten.

$\begin{eqnarray*} (n++) \cdot 0 = ... \end{eqnarray*}$

Wie mach ich weiter? verwirrt

22.07.2013, 01:12

yooyooyoyo

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Was heißt ++ (Aus reiner Neugier) ?

22.07.2013, 01:15

yooyooyoyo

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Aso, eventuell n+1 ?

22.07.2013, 01:21

Kimyaci

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"n++" ist der Nachfolger von n. Also (0++) wäre beispielsweise 1.

Ich mach dann morgen weiter!

22.07.2013, 01:24

yooyooyoyo

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Komische Schreibweise. Ist das normal bei euch Mathematikern? Big Laugh

22.07.2013, 01:47

Kimyaci

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Zitat:

Ist das normal bei euch Mathematikern?

Bin ich nach wie vor nicht, aber du hast mich auf eine Lösungsidee gebracht.

Jedenfalls hatte ich im Tao mal gelesen, dass das mit der Schreibweise etwas mit Programmiersprachen zu tun hat. In Wikipedia, etc. finde ich die Schreibweise mit dem Aposthrop: $\begin{eqnarray*} n' \end{eqnarray*}$ . Aber das ist auch nicht so wichtig.

Damit das hier nicht zu viel OFF TOPIC wird mach ich mal etwas weiter:

Laut der Definition der Multiplikation ist ja:

$\begin{eqnarray*} (n++) \cdot 0 = n \cdot 0 + 0 \end{eqnarray*}$

Und n*0 ist gemäß Induktionsvoraussetzungen 0:

$\begin{eqnarray*} (n++) \cdot 0 = 0 + 0 \end{eqnarray*}$

Nach Definition der Addition (m+0:=0) gilt:

$\begin{eqnarray*} (n++) \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Und das wollte ich ja beweisen in Schritt 1. Nun müsste ich noch zeigen, dass das für alle natürlichen Zahlen gilt? Das mach ich dann aber morgen, falls ich das überhaupt hinkrieg.

Ansonsten; kann es sein, dass du jede Frage von mir "verfolgst"?

22.07.2013, 02:05

yooyooyoyo

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Ja, n++ wird beim programmieren benutzt. Das ist korrekt und deshalb hat es hier auch nichts zu suchen. Ich weiss nicht woher du diese Schreibweise hast, aber ich bin der Meinung das du diese erst einmal vergessen solltest.

Die Standardtypische Schreibweise ist n+1 bzw. A(n+1) möchtest du zeigen. Und ich weiss auch nicht wie du formal eigentlich (n++)*0=0 zeigen möchtest. Es heißt nämlich (n+1)*0=0 <-> n*0+0=0 -> 0=0

Im übrigen zeigst du den Beweis für alle IN, indem du ihn für A(1) zeigst und A(n+1) in deinem Fall.

Naja, ich freue mich schon wenn jemand einen Thread eröffnet, der bisher nicht beantwortet wurden ist und ich helfen kann. Außerdem vertrete ich die Meinung, dass ich kein Verbrechen begonnen habe, hier zu antworten.

Desweiteren möchte ich hinzufügen, dass das Symbol ,,Für alle" in deinem erste Post korrekt angewandt ist!

22.07.2013, 02:22

Kimyaci

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Zitat:

Aus dem Terence Tao - Analysis I (das ich aber momentan nicht mehr durcharbeite) und aus folgenden Vorlesungen:

http://www.online-vorlesungen.de/Videos/...vorlesungen.htm

(auf "Analysis I WS2011/2012" -> "Vorlesung Folge 7").

Und daher werde ich diese Schreibweise auch weiter benutzen!

Für die Addition wurde das schon "vorgerechnet" - ich muss das quasi "nur" zur Vertiefung analog für die Multiplikation anwenden. Da ich komplett neu in der Thematik bin ist das aber nicht ganz so einfach für mich.

Und: n++ = n+1 (ist doch der Nachfolger, daher gilt n++ = n+1?).

Zitat:

(...) dass ich kein Verbrechen begonnen habe, hier zu antworten.

Kam mir nur etwas verdächtig vor, weil ich dich immer nur im Zusammenhang mit meinen Fragen sehe. Big Laugh

Zitat:

Desweiteren möchte ich hinzufügen, dass das Symbol ,,Für alle" in deinem erste Post korrekt angewandt ist!

Oke!

22.07.2013, 02:34

yooyooyoyo

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Man zeigt, in deinem Fall ist es eine Gleichung, dass die Gleichung auch für n+1 gilt, wobei n element IN ist. Deine Aussage lautet, dass du diese Schreibweise gerne weiter benutzen möchtest. Dann zeige mir doch mal bitte wie du (n+1)*0=0 <-> n*0+n+0*1=0 in deiner Schreibweise mit jedem Zwischenschritt beweisen möchtest.

22.07.2013, 10:27

Kimyaci

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So, war wohl gestern einfach nur viel zu späte Uhrzeit. Habs nun hinbekommen (aufm Papier - weshalb ich das alles nicht nochmal abtippen werde).

Zitat:

. Deine Aussage lautet, dass du diese Schreibweise gerne weiter benutzen möchtest. Dann zeige mir doch mal bitte wie du (n+1)*0=0 <-> n*0+n+0*1=0 in deiner Schreibweise mit jedem Zwischenschritt beweisen möchtest.

Ich bin noch nicht in der Lage das zu beweisen (wie gesagt; ganz am Anfang bin ich noch) - außerdem geht es mir nicht drum "n+1" abzulehnen, sondern lediglich die Schreibweise für den Nachfolger der natürlichen Zahl n mit n++ zu bezeichnen (statt mit n' oder Sonstiges); später wird ja sicher auch noch gezeigt, dass n++ = n+1 ist (?) vermute ich mal.

Edit: Gehe ich vielleicht unkonventionell vor? Über Kritik würde ich mich freuen. smile

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