Allgemeine Relativitätstheorie ohne Differentialgeometrie?

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Huy Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeine Relativitätstheorie ohne Differentialgeometrie?
Ich stelle mir derzeit meinen Stundenplan für das 5. Semester meines Mathematikstudiums zusammen und ich habe da eine Frage: Es wird ein Fach namens "General Relativity" angeboten, in welchem es laut Vorlesungsverzeichnis um die Themen "Manifold, Riemannian metric, connection, curvature, Special Relativity, Lorentzian metric, Equivalence principle, Tidal force and spacetime curvature, Energy-momentum tensor, field equations, Newtonian limit, Post-Newtonian approximation, Schwarzschild solution, Kerr solution, Gravitational radiation, Gravitational collapse and trapped surfaces, Spacetime singularities." geht. Nun habe ich gehört, dass es für Vorlesungen über die Allgemeine Relativitätstheorie generell von grossem Vorteil ist, wenn man sich zuvor mit Differentialgeometrie befasst hat. Allerdings überschneidet sich die Vorlesung zur Differentialgeometrie 1 mit einer anderen Vorlesung, die ich gerne besuchen würde. Ist es sinnvoll, die Vorlesung "General Relativity" ohne Vorkenntnisse der Differentialgeometrie zu besuchen oder sollte ich die Vorlesungen parallel besuchen oder sogar zuerst Differentialgeometrie 1 & 2 absolvieren und mich erst im Master mit General Relativity befassen?

Vielen Dank im Voraus für jegliche Hilfe.
MI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeine Relativitätstheorie ohne Differentialgeometrie?
Puh, das ist nicht ganz so einfach.

Generell ist die Physiker-ART eine Koordinatenrechnerei. Alle differentialgeometrischen Formeln werden in Koordinaten (und damit Indizes) hingeschrieben und man rechnet damit rum. Wenn du dich in der DiffGeo gar nicht auskennst, kann das dazu führen, dass du nicht wirklich einen Durchblick durch den Walt der Indizes hast. Der zweite Teil (sobald die Einsteingleichungen dann mal da stehen), ist dann häufig mehr Physik.

Differentialgeometrie wird dagegen koordinatenfrei gemacht. Die Frage ist aber, was genau ihr in DiffGeo I macht. Wenn ihr eher Geometrie von Kurven und Flächen (also Untermannigfaltigkeiten) macht, dann bringt das für die ART nichts. Was etwas bringt ist die DiffGeo, die tatsächlich auf der Differentialtopologie aufbaut und koordinatenfrei und unabhängig von irgendwelchen Einbettungen Zusammenhänge von Mannigfaltigkeiten, Paralleltransport, den Krümmungstensor, etc. betrachtet. Das bietet das Gerüst, woraus der Indexwald entsteht, wenn man in eine Karte wechselt...
Rechnen lernt man dabei vermutlich wenig, allerdings sind die Zusammenhänge für die ART sehr viel klarer (insbesondere, wenn man eher Mathematiker ist). Der einzige Nachteil ist, dass mit soliden Kenntnissen über Differentialgeometrie die Herleitung der Einsteingleichungen fast automatisch ist - die erste Hälfte der ART-Vorlesung ist dann nur Wiederholung.

Ich muss allerdings gestehen, dass ich von der ART-Vorlesung ziemlich enttäuscht war. Komische Indexrechnungen (wir haben lineare Störungstheorie gemacht) - schrecklich. Sobald die Einsteingleichungen dastanden und man mal eine Lösung gesehen hat, hatte ich alles gesehen, was ich wirklich sehen wollte. Das kann man sich aber auch einfacher und mathematisch eleganter anlesen - z.B. im Buch "Gauge Fields, Knots and Gravity" von John Baez und einem zweiten Autor, den ich vergessen habe...

Gruß
MI
 
 
Huy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeine Relativitätstheorie ohne Differentialgeometrie?
Zitat:
Original von MI
Die Frage ist aber, was genau ihr in DiffGeo I macht.

Gemäss Vorlesungsverzeichnis wird in DiffGeo 1 folgendes behandelt:
Differentiable manifolds, tangent bundle, embeddings, Frobenius' theorem.
Geodesics, second fundamental form, completeness, Hopf-Rinow theorem.
Levi-Civita connection, parallel transport, Christoffel symbols, frame bundle.
Isometries, Riemann curvature tensor, Bianchi identities, Theorema Egregium,
Cartan-Ambrose-Hicks theorem, constant curvature, symmetric spaces.

In DiffGeo 2 wäre dann "Continuation of Differential Geometry I. Abstract differential geometry, Ricci calculus, Riemannian geometry, elements of comparison theory, elements of differential topology" an der Reihe. Sind diese Vorlesungen für die ART relevant?

MfG
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

steht das alles tatsächlich in Englisch im Vorlesungsverzeichnis ?
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Vorlesungen werden in Englisch gehalten.

MfG
MI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeine Relativitätstheorie ohne Differentialgeometrie?
Zitat:
Original von Huy
Sind diese Vorlesungen für die ART relevant?


DiffGeo I: Ja, die sinde relevant. Die Einsteinschen Feldgleichungen lauten

Dabei ist der Ricci Tensor (entsteht aus dem Riemannian curvature tensor, der wiederum aus der Levi-Civita-connection der Metrik entsteht), R der Ricci-Skalar (entsteht aus dem Ricci-Tensor), die zugrundeliegende Metrik entsteht, Lambda ist die kosmologische Konstante und die rechte Seite beinhaltet die Physik.

Kurz gesagt: Deine Diffgeo ist eine richtige allgemeine DiffGeo und nicht die Geometrie von Kurven und Flächen. Es kann also helfen, diese Sachen zu kennen, es kann aber auch sein, dass du, wenn du das dann weißt, hinterher von der ART-Vorlesung nur enttäuscht sein wirst Augenzwinkern .

Gruß
MI
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