maximales Ideal, Körper |
| 22.07.2013, 13:58 | Flow1410 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| maximales Ideal, Körper Im Wesentlichen geht es darum, zu zeigen, dass der Faktorring bzgl. eines Ideals M genau dann ein Körper ist, wenn M maximal ist. Ich wüsste gerne, ob man meinen folgenden Beweis so stehen lassen kann oder ob ich einen Fehler mache. In meinem Buch wird das aus einem "Korrespondenzsatz" gefolgert, was mir nicht besonders einleuchtet. Meine Ideen: Basis ist die Beobachtung, dass der kanonische Epimorphismus eine Bijektion von Idealen bietet. (richtig? Ist das vllt sogar genau die Aussage vom Korrespondenzsatz?) Aus R/M Körper folgt R/M einfach, weil jedes Ideal eine Einheit enthalten würde, demnach die 1 und demnach ganz R/M enthält. Die Ideale in R/M sind also genau das Eins- und das Nullideal. Nach der Bijektion gibt es also in R nur entweder den Kern des kan. Epimorphismus als Ideal. Das wäre genau M. Oder noch ein Ideal, das auf das Einsideal abgebildet wird. Dieses enthält in jedem Fall die 1 aus R, also ganz R. Weil es sonst keine Ideale gibt, ist M maximal. Ich bedanke mich für Kommentare. Viele Grüße! Flo |
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| 23.07.2013, 18:38 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo,
Da hier Sachen korrespondieren ist das hier wohl der hier gemeinte Korrespondenzsatz. Die eigentliche Frage ist doch aber: Eine Bijektion von welchen Idealen (was ist also Quelle und Ziel dieser Bijektion?). Das ist hier der entscheidende Punkt.
R enthält definitv noch das Nullideal. Damit ist die letzte Folgerung falsch. |
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