Totales Differenzial / Fehlerrechnung

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22.07.2013, 14:31	Borbo	Auf diesen Beitrag antworten »
Totales Differenzial / Fehlerrechnung Meine Frage: Hallo, Beim der Vorbereitung auf eine Klausur habe ich heute ein neues Thema angefangen zu lernen. Allerdings will sich mir das nicht so recht erschließen. Zum Beispiel folgende Aufgabe: Der Widerstandswert eines gestreckten Leiters in der Anwendung als Dehnmessstreifen berechnet sich in Abhängigkeit von der Länge l, dem Querschnitt A nach der Formel $\begin{eqnarray} R(l,A)=p\frac{l}{A} \end{eqnarray}$ . Bestimmen sie das totale Differenzial dieser von l und A abhängigen Funktion. Schätzen sie damit die relative Abweichung ab für den Fall, dass die einzelnen Größen in Abhängigkeit der Dehnung (durch äußere Einflüsse) ihr Wert um 5% ändern können. Meine Ideen: Unter den totalen Differenzial versteht man ja df = fx dx + fy dy. Aber ich weiß bei dieser Aufgabe überhaupt nicht, wie ich das jetzt Ableiten und das totale Differenzial bilden soll. Auch weiß ich grad nicht, wie das genau mit der Fehlerrechnung funktionieren soll. Ich will natürlich keine Lösung haben, es wäre aber schön, wenn mir jemand das erklären könnte bzw. Tipps zum lösen der Aufgabe liefern könnte. Vielen Dank! Gruß!
23.07.2013, 09:42	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
Du schaffst es doch bestimmt, R nach l und A abzuleiten oder? Dein totales Differential sieht dann wie folgt aus: $\begin{eqnarray} dR(l,A)=\frac{\partial R}{\partial l} dl+\frac{\partial R}{\partial A} dA \end{eqnarray}$ Um die relative Änderung zu erhalten, musst du den ganzen Ausdruck dann noch durch R(l,A) teilen und jeweils die Beträge der Ausdrücke betrachten
23.07.2013, 13:57	Borbo	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! Das totale Differenzial müsste doch so aussehen: $\begin{eqnarray} dR(l,A) = \frac{p}{A}dl - \frac{p\cdot l}{A^{2} } \end{eqnarray}$ Der relative Fehler berechnet sich dann nur aus $\begin{eqnarray} \frac{dR(l,A)}{R(l,A)} \end{eqnarray}$ ? Mich verwirren die 5%, wo ich die einrechnen soll. Ich hab ja weder Messwerte noch sonstige Angaben. Wie soll ich das denn abschätzen bzw. berechnen? Das ist der wesentliche Punkt, der mich gerade irritiert.
23.07.2013, 20:49	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
zuerst mal fehlt dir noch ein dA auf der rechten Seite. Dann ist der Ausdruck $\begin{eqnarray} \frac{dR}{R} \end{eqnarray}$ erstmal nur die Definition für die relative Abweichung, du musst die rechte Seite deines Differentials auch noch durch R teilen.Dabei setzt du für R die Formel ein die du gegeben hast. Wie denkst du denn ist die Dehnung von A und l definiert?
24.07.2013, 14:10	Borbo	Auf diesen Beitrag antworten »
Also würde das dann so aussehen: $\begin{eqnarray} \frac{dR}{R} = \frac{\frac{p}{A}dl - \frac{p\cdot l}{A^{2}}dA }{p\frac{l}{A} } \end{eqnarray}$ ? Naja die Dehnung müsste doch in cm oder mm definiert sein. Die Dehnung wird größer, wenn l größer und A kleiner wird. Dadurch ändert sich auch der Widerstandswert. Oder wie hast du das gemeint?
24.07.2013, 14:29	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke eher dass die dehnung in % angegeben wird und sowas wie $\begin{eqnarray} \frac{dl}{l} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \frac{dA}{A} \end{eqnarray}$ ist. Nun vereinfache die rechte seite mal noch
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24.07.2013, 15:23	Borbo	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt % wäre sinnvoller. Als Vereinfachung habe ich folgendes raus: $\begin{eqnarray} \frac{dR}{R} = \frac{\frac{p}{A}dl }{p\frac{l}{A} } - \frac{\frac{pl}{A^{2} } }{p\frac{l}{A} } = \frac{1dl}{l} - \frac{1}{A}dA \end{eqnarray*}$
25.07.2013, 12:43	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
okay jetzt musst du nur noch wissen, dass sich bei fehlerrechnung die beträge der fehler addieren, also anstelle des minus kommt dann ein plus dahin. Jetzt setz deine Werte ein, auf was für eine relative Abweichung kommst du dann?
25.07.2013, 13:26	Borbo	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, das sieht dann also so aus: $\begin{eqnarray} \|\frac{1}{l}\| + \| \frac{1}{A} \| = Abweichung% \end{eqnarray}$ Das mit den Werten verstehe ich bei dieser Aufgabe nicht. Mir ist klar, dass ich jetzt die Länge und den Querschnitt einsetzen muss und dann habe ich die relative Abweichung. Aber bei der Aufgabe stehen ja keine Werte für l und A, nur dass sie um 5% schwanken können.

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