Cauchysche Integralsatz: Integral berechnen

23.07.2013, 16:13

HammerTobi

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Cauchysche Integralsatz: Integral berechnen

Hey,

ich soll folgendes Integral berechnen:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} \! e^{e^{a-iy}} \, dy \end{eqnarray*}$

Als Hinweis stand ich solle eine geeignete Funktion $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ finden und über ein Rechteck mit vorgegebenen Ecken integrieren.

Ich hab mir überlegt $\begin{eqnarray*} f(z)=e^{e^{z}} \end{eqnarray*}$ zu nehmen, bin mir aber nicht sicher ob mich das weiterbringt.

Die Ecken des Rechtecks sind für $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} a-i\pi, a+i\pi, b-i\pi, b+i\pi \end{eqnarray*}$ . Da das ne geschlossene Kurve ist und f holomorph ist, ist das Integral über die gesamte Kurve 0 nach dem Cauchyschem Integralsatz.

Sind meine Überlegungen soweit richtig?

Lg Tobi

23.07.2013, 18:32

Che Netzer

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RE: Cauchysche Integralsatz: Integral berechnen
Ja, sind sie.

23.07.2013, 21:59

HammerTobi

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RE: Cauchysche Integralsatz: Integral berechnen
Okay, gut.

Dann parametrisiere ich die Kurven und versuch die vier Kurvenintegrale auszuwerten. Ich schätze, ich muss für a gegen 0, ja?

Lg Tobi

23.07.2013, 22:02

Che Netzer

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RE: Cauchysche Integralsatz: Integral berechnen
Naja, wenn du dir die Integrale über die Rechtecksseiten mal ansieht, merkst du, dass das Integral nicht von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ abhängt. Und ja, dann kannst du mit $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ weiterrechnen.

23.07.2013, 22:10

HammerTobi

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RE: Cauchysche Integralsatz: Integral berechnen

Zitat:

Original von Che Netzer
Naja, wenn du dir die Integrale über die Rechtecksseiten mal ansieht, merkst du, dass das Integral nicht von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ abhängt.

Sorry, aber igendwie seh ich das grade nicht

Für die rechte Rechteckseite hab ich $\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} \! e^{e^{b-i\pi+it}} \, dt \end{eqnarray*}$
und für die obere Rechteckseite $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! e^{e^{a-i\pi+t}} \, dt \end{eqnarray*}$

23.07.2013, 22:19

Che Netzer

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RE: Cauchysche Integralsatz: Integral berechnen
Die Integrale über die obere und über die untere Seite heben sich auf, da die Exponentialfunktion die Periode $\begin{eqnarray*} 2\pi\mathrm i \end{eqnarray*}$ hat.

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23.07.2013, 22:28

HammerTobi

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RE: Cauchysche Integralsatz: Integral berechnen
Dann hab ich meine Kurven falsch parametrisiert, glaube ich..

"obere Kurve": $\begin{eqnarray*} b+i\pi -t, t\in [0,a] \end{eqnarray*}$
"untere Kurve": $\begin{eqnarray*} a-i\pi+t, t\in [0,b-a] \end{eqnarray*}$

23.07.2013, 22:46

HammerTobi

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RE: Cauchysche Integralsatz: Integral berechnen
Und somit erhalte:

für das obere Integral: $\begin{eqnarray*} -\int_0^a \! e^{e^{b-i\pi-t}} \, dt \end{eqnarray*}$
für das untere Integral: $\begin{eqnarray*} \int_0^{b-a} \! e^{e^{a-i\pi+t}} \, dt \end{eqnarray*}$
oder bin ich da auf dem falschen Dampfer?

Seh aber auch nicht, wo die $\begin{eqnarray*} 2\pi i \end{eqnarray*}$ reinspielen..

23.07.2013, 22:49

Che Netzer

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RE: Cauchysche Integralsatz: Integral berechnen
Die untere Seite ist doch genau die obere Seite um $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ entlang der imaginären Achse verschoben. Auf dieser ist die zu integrierende Funktion genau gleich; es wird nur in entgegengesetzter Richtung integriert.

23.07.2013, 23:03

HammerTobi

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RE: Cauchysche Integralsatz: Integral berechnen
Achso... geschockt

geschockt

(kann ich davon ausgehen, dass das selbe Argument für jede $\begin{eqnarray*} 2\pi i \end{eqnarray*}$ - periodische Funktion gilt?)
Egal welches $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ich nehme, die beiden Integrale heben sich immer auf und deshalb ist es nicht von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ abhängig, richtig?

Gut, wenn sich die beiden Integrale aufheben, so muss das linke Integral gleich dem negativen rechten Integral sein. Nun kann ich für a=0 benutzen und muss für b noch einen geeigneten Wert nehmen?

Lg Tobi

23.07.2013, 23:08

Che Netzer

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RE: Cauchysche Integralsatz: Integral berechnen
Die Geschichte mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist nur dazu gut, die Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ zu zeigen.
Jetzt soll
$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^\pi\mathrm e^{\cos y-\mathrm i\sin y}\dd y \end{eqnarray*}$ berechnet werden.

23.07.2013, 23:31

HammerTobi

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RE: Cauchysche Integralsatz: Integral berechnen
Sorry, da hab ich in der Angabe nen Fehler, deshalb muss es "+" sein.

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^\pi\mathrm e^{\cos y+\mathrm i\sin y}\dd y \end{eqnarray*}$

sollte aber am weiteren Vorgehen nichts ändern, oder?

$\begin{eqnarray*} = \int_{-\pi}^{\pi} \! e^{\cos y}e^{i\sin y} dy= \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

23.07.2013, 23:33

Che Netzer

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RE: Cauchysche Integralsatz: Integral berechnen
Das kannst du jetzt zu einem Integral über den Einheitskreis umschreiben. (ohne deine letzte Umformung)

23.07.2013, 23:56

HammerTobi

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RE: Cauchysche Integralsatz: Integral berechnen
Stimmt,

mit $\begin{eqnarray*} \Gamma = e^{it} \end{eqnarray*}$ , dann so:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} \! \frac{e^{e^{it}}}{e^{it}} \, dt = 2\pi \end{eqnarray*}$ ?

Lg Tobi

24.07.2013, 07:00

Che Netzer

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RE: Cauchysche Integralsatz: Integral berechnen
Naja...
$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^\pi\mathrm e^{\mathrm e^{\mathrm it}}\dd t=\int_{\{\lvert z\rvert=1\}}\frac{\mathrm e^z}{\mathrm iz}\dd z=2\pi\,. \end{eqnarray*}$

24.07.2013, 15:51

HammerTobi

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RE: Cauchysche Integralsatz: Integral berechnen
Alles klar! Vielen Dank Che.

Für solche Integrale muss man wohl nen Blick entwickeln und etwas üben...

Lg Tobi

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