Differentialgeometrie - Umparametrisierung nach Bogenlänge

23.07.2013, 20:00

steviehawk

Differentialgeometrie - Umparametrisierung nach Bogenlänge

Meine Frage:
Hallo Leute, ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe:

Sei: $\begin{eqnarray*} c: (0, \infty ) \to \mathbb R^2 , c(t) = \begin{pmatrix} 3t \\ 2t^{\frac{3}{2} } \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Finden Sie eine Umparametriesierung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} \tilde c = c \circ \varphi \end{eqnarray*}$ nach der Bogenlänge parametrisiert ist.

Meine Ideen:
Dazu bestimme ich: $\begin{eqnarray*} c'(t) = \begin{pmatrix} 3 \\ 3\sqrt{t } \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann definiere ich mir: $\begin{eqnarray*} \phi(t) = \int_{t_0}^t \! ||c'(s)|| \, ds = \int_{t_0}^t \! \sqrt{9+9s} \, ds = \frac{2}{27}[(9+9s)^{\frac{3}{2}} ]_{t_o}^t = \frac{2}{27}(9+9t)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27}(9-9t_0)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun $\begin{eqnarray*} t_0 := -1 \end{eqnarray*}$ wähle, dann fällt der hintere Teil ganz weg, was sehr praktisch ist.

Die Frage ist nun, ob $\begin{eqnarray*} t_0 := -1 \end{eqnarray*}$ erlaubt ist, da ja $\begin{eqnarray*} -1 \notin (0, \infty) \end{eqnarray*}$ ist. Die Stammfunktion ist an dieser Stelle aber definiert, also müsst es doch kein Problem darstellen oder?

In der Musterlösung verwendet man: $\begin{eqnarray*} t_0 = 0 \end{eqnarray*}$ liegt ja aber streng genommen auch nicht in $\begin{eqnarray*} (0, \infty) \end{eqnarray*}$

Darf ich also $\begin{eqnarray*} t_0 = -1 \end{eqnarray*}$ wählen??

Danke für die Hilfe

23.07.2013, 20:32

Che Netzer

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RE: Differentialgeometrie - Umparametrisierung nach Bogenlänge

Zitat:

Original von steviehawk
In der Musterlösung verwendet man: $\begin{eqnarray*} t_0 = 0 \end{eqnarray*}$ liegt ja aber streng genommen auch nicht in $\begin{eqnarray*} (0, \infty) \end{eqnarray*}$

Dann hat man ein uneigentliches Integral.

Zitat:

Darf ich also $\begin{eqnarray*} t_0 = -1 \end{eqnarray*}$ wählen??

Ja, das entspricht dem Hinzuaddieren einer Konstanten zu $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ . Das ändert nur den Definitionsbereich der Parametrisierung.

Du darfst aber natürlich nicht
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^t\lVert c'(s)\rVert\dd s \end{eqnarray*}$
schreiben.

23.07.2013, 20:43

steviehawk

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RE: Differentialgeometrie - Umparametrisierung nach Bogenlänge
stört das, wenn es ein uneigentliches Integral ist? Warum ist es überhaupt ein uneigentliches? Sehe ich gerade nicht wirklich verwirrt

Edit: jetzt sehe ich es: weil $\begin{eqnarray*} c: (0,\infty) \to \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , die 0 also nicht im Definitionsberreich liegt.

darf ich dann: $\begin{eqnarray*} \int_0^t \! ||c'(s)|| \, ds \end{eqnarray*}$ schreiben?

warum darf ich nicht, $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^t \! ||c'(s)|| \, ds \end{eqnarray*}$ schreiben?

Edit: Geht wohl nicht, da $\begin{eqnarray*} ||c'|| \end{eqnarray*}$ da garnicht definiert ist oder? Dann kann ich auch nicht das Integral darüber betrachten. Aber später darf ich dann -1 einsetzten, weil ich dann nur noch die Stammfunktion betrachte und schaue wo die definiert ist? Oder wie kann ich das verstehen?

23.07.2013, 21:17

Che Netzer

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RE: Differentialgeometrie - Umparametrisierung nach Bogenlänge
Naja, "uneigentlich" war etwas übertrieben. Jedenfalls ist egal, ob die linke Grenze zum Definitionsbereich gehört oder nicht.

Zum zweiten: Ja, genau deswegen darfst du das nicht schreiben.
Und später ist nur wichtig, dass die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ stimmt.

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